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Theorem axcontlem12 25906
Description: Lemma for axcont 25907. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcontlem12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Distinct variable groups:    A, b, x    B, b, x, y    N, b, x, y    Z, b, x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem axcontlem12
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rzal 3721 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  (/)  ->  A. y  e.  B  Z  Btwn  <.
x ,  y >.
)
21ralrimivw 2782 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <.
x ,  y >.
)
3 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  Z  ->  (
b  Btwn  <. x ,  y >.  <->  Z  Btwn  <. x ,  y >. )
)
432ralbidv 2739 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  Z  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
54rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
65expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>.  ->  ( Z  e.  ( EE `  N
)  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
72, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Z  e.  ( EE `  N )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
87adantld 454 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
98adantld 454 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( ( ( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
10 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) ) )
11 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
12 simprll 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  u  e.  A
)
13 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  B  =/=  (/) )
1411, 12, 133jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  ( Z  e.  ( EE `  N
)  /\  u  e.  A  /\  B  =/=  (/) ) )
15 simprlr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  Z  =/=  u
)
16 axcontlem11 25905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  u  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  u ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
1710, 14, 15, 16syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
1817ex 424 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
199, 18pm2.61ine 2674 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
2019ex 424 . . 3  |-  ( ( u  e.  A  /\  Z  =/=  u )  -> 
( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
2120rexlimiva 2817 . 2  |-  ( E. u  e.  A  Z  =/=  u  ->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
22 df-ne 2600 . . . . . 6  |-  ( Z  =/=  u  <->  -.  Z  =  u )
2322con2bii 323 . . . . 5  |-  ( Z  =  u  <->  -.  Z  =/=  u )
2423ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  <->  A. u  e.  A  -.  Z  =/=  u
)
25 ralnex 2707 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  -.  Z  =/=  u  <->  -.  E. u  e.  A  Z  =/=  u )
2624, 25bitri 241 . . 3  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  <->  -.  E. u  e.  A  Z  =/=  u )
27 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. )
28 eqeq2 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  x  ->  ( Z  =  u  <->  Z  =  x ) )
2928rspccva 3043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  x  e.  A )  ->  Z  =  x )
30 opeq1 3976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  =  x  ->  <. Z , 
y >.  =  <. x ,  y >. )
3130breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  =  x  ->  (
x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  x  Btwn  <. x ,  y >. ) )
32 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  =  x  ->  ( Z  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  x  Btwn  <. x ,  y >. ) )
3331, 32bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  x  ->  (
x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  Z  Btwn  <. x ,  y >. ) )
3433ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  x  ->  ( A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. 
<-> 
A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<-> 
A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
3635ralbidva 2713 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
3736biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <.
x ,  y >.
)
3827, 37sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. )
3938, 5sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) ) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
4039ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
4140expl 602 . . 3  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
4226, 41sylbir 205 . 2  |-  ( -. 
E. u  e.  A  Z  =/=  u  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
4321, 42pm2.61i 158 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   NNcn 9992   EEcee 25819    Btwn cbtwn 25820
This theorem is referenced by:  axcont  25907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-z 10275  df-uz 10481  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-ee 25822  df-btwn 25823
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