Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcontlem7 Unicode version

Theorem axcontlem7 24670
Description: Lemma for axcont 24676. Given two points in  D, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem7.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem7.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
Distinct variable groups:    t, D, x    i, F, t    i, p, x, N, t    P, i, t, x    Q, i, t, x    U, i, p, t, x    i, Z, p, t, x
Allowed substitution hints:    D( i, p)    P( p)    Q( p)    F( x, p)

Proof of Theorem axcontlem7
StepHypRef Expression
1 axcontlem7.1 . . . . . 6  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
2 ssrab2 3271 . . . . . 6  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
31, 2eqsstri 3221 . . . . 5  |-  D  C_  ( EE `  N )
43sseli 3189 . . . 4  |-  ( P  e.  D  ->  P  e.  ( EE `  N
) )
54ad2antrl 708 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
6 simpll2 995 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
73sseli 3189 . . . 4  |-  ( Q  e.  D  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
87ad2antll 709 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
9 brbtwn 24599 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  Z  e.  ( EE `  N )  /\  Q  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) ) ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) ) ) )
11 axcontlem7.2 . . . . 5  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
121, 11axcontlem6 24669 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  P  e.  D )  ->  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
131, 11axcontlem6 24669 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  Q  e.  D )  ->  (
( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
1412, 13anim12dan 810 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) )  /\  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) )
15 an4 797 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
16 r19.26 2688 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
1716anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
1815, 17bitr4i 243 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
19 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  ->  ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) )
20 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) )  ->  (
t  x.  ( Q `
 i ) )  =  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )
2120oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) )  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) )
2219, 21eqeqan12d 2311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
2322ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) )  <->  ( (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) ) )
24 ralbi 2692 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) )  <->  ( (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) ) )
2625rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
27 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
28 fveecn 24602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Z `  i )  e.  CC )
2927, 28sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Z `  i )  e.  CC )
30 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
31 fveecn 24602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( U `  i )  e.  CC )
3230, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( U `  i )  e.  CC )
33 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
34 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
3533, 34elicc2i 10732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
3635simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  e.  RR )
3736recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  e.  CC )
3837ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  t  e.  CC )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  CC )
40 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  P )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  P
) ) )
4140simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( F `  P )  e.  RR )
4241recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
4443ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
46 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  Q
) ) )
4746simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
4847recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
5049ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
52 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
53 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
t  e.  CC )
54 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  CC )
5553, 54mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )
56 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  e.  CC )
5752, 55, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC )
58 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( F `  P )
)  e.  CC )
5952, 58mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  P )  e.  CC  ->  (
1  -  ( F `
 P ) )  e.  CC )
60593ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( F `
 P ) )  e.  CC )
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  ( F `  P )
)  e.  CC )
62 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( Z `  i
)  e.  CC )
6357, 61, 62subdird 9252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  -  ( 1  -  ( F `  P )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
64 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( F `  P
)  e.  CC )
65 nnncan1 9099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6652, 65mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6755, 64, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6867oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  -  ( 1  -  ( F `  P )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( Z `  i ) ) )
69 subdi 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
t  x.  ( 1  -  ( F `  Q ) ) )  =  ( ( t  x.  1 )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) ) )
7052, 69mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( ( t  x.  1 )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
71 mulid1 8851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  e.  CC  ->  (
t  x.  1 )  =  t )
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  1 )  =  t )
7372oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( ( t  x.  1 )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7470, 73eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7553, 54, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7675oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) ) ) )
77 npncan 9085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  t  e.  CC  /\  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7852, 77mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  t )  +  ( t  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
7953, 55, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
8076, 79eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  ( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q )
) ) ) )
8180oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q
) ) ) )  x.  ( Z `  i ) ) )
82 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  t  e.  CC )  ->  ( 1  -  t
)  e.  CC )
8352, 82mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  CC  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
84833ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
8584adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  t
)  e.  CC )
86 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( F `  Q )
)  e.  CC )
8752, 86mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  Q )  e.  CC  ->  (
1  -  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
88873ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
8988adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  ( F `  Q )
)  e.  CC )
9053, 89mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC )
9185, 90, 62adddird 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) ) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9253, 89, 62mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9392oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
) ) ) )
9481, 91, 933eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
) ) ) )
9594oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9663, 68, 953eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
97 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( U `  i
)  e.  CC )
9864, 55, 97subdird 9252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( ( t  x.  ( F `  Q ) )  x.  ( U `  i
) ) ) )
9953, 54, 97mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( t  x.  ( F `  Q
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )
10099oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) )  -  (
( t  x.  ( F `  Q )
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
10198, 100eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
10296, 101eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  =  ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( U `
 i ) )  <-> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
10361, 62mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10464, 97mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
)  e.  CC )
10585, 62mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10689, 62mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10753, 106mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  e.  CC )
108105, 107addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  e.  CC )
10954, 97mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
)  e.  CC )
11053, 109mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) )  e.  CC )
111103, 104, 108, 110addsubeq4d 9224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
112105, 107, 110addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) )  +  ( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
11353, 106, 109adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
114113oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) )  +  ( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
115112, 114eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
116115eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )  <-> 
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
117102, 111, 1163bitr2rd 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) ) ) )
11829, 32, 39, 45, 51, 117syl23anc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( Z `  i ) )  =  ( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
) ) )
119118ralbidva 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  =  ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( U `
 i ) ) ) )
12039, 51mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
12145, 120subcld 9173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  e.  CC )
122 mulcan1g 24099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC  /\  ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i )  e.  CC )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
123121, 29, 32, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
124123ralbidva 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) )  =  ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( U `  i
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  =  0  \/  ( Z `
 i )  =  ( U `  i
) ) ) )
125 r19.32v 2699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
126 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  Z  =/=  U )
127126neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  -.  Z  =  U )
128 biorf 394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  Z  =  U  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  <-> 
( Z  =  U  \/  ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0 ) ) )
129 orcom 376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  =  U  \/  ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0 )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U ) )
130128, 129syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  Z  =  U  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U ) ) )
131127, 130syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  \/  Z  =  U ) ) )
13238, 50mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  e.  CC )
133 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  =  0  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
13444, 132, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
135 eqeefv 24603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( Z  =  U  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
1361353adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( Z  =  U  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
137136adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  =  U  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
138137adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( Z  =  U  <->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
139138orbi2d 682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  Z  =  U )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
140131, 134, 1393bitr3rd 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/ 
A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) )  <-> 
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
141125, 140syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) )  <-> 
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
142119, 124, 1413bitrd 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
143142anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
144143rexbidva 2573 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
14536adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  RR )
14634a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  1  e.  RR )
14746biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
( F `  Q
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  Q ) ) )
148147ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 Q )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  Q
) ) )
14935simp3bi 972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  <_  1 )
150149adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  <_  1
)
151 lemul1a 9626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  Q ) ) )  /\  t  <_  1
)  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 Q ) ) )
152145, 146, 148, 150, 151syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 Q ) ) )
15348ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
154153mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  Q
) )  =  ( F `  Q ) )
155152, 154breqtrd 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  ( F `  Q )
)
156 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `  Q
) )  ->  (
( F `  P
)  <_  ( F `  Q )  <->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  ( F `  Q )
) )
157155, 156syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 P )  =  ( t  x.  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
158157rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
159 0elunit 10770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
160 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( F `  P
)  =  0 )
16148mul02d 9026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  (
0  x.  ( F `
 Q ) )  =  0 )
162161adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( 0  x.  ( F `  Q )
)  =  0 )
163160, 162eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( 0  x.  ( F `  Q ) ) )
164 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  =  ( 0  x.  ( F `  Q
) ) )
165164eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
166165rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `  Q
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
167159, 163, 166sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
168167adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
169168a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  Q
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
170169ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  P )  =  0  ->  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( F `  P )  <_  ( F `  Q )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) ) )
171 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) )
17241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( F `  P )  e.  RR )
1731723ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  e.  RR )
17440simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  P
) )
175174adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  P
) )
1761753ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
0  <_  ( F `  P ) )
17747adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
1781773ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  RR )
17933a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
0  e.  RR )
180 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  =/=  0 )
181173, 176, 180ne0gt0d 8972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
0  <  ( F `  P ) )
182179, 173, 178, 181, 171ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
0  <  ( F `  Q ) )
183 divelunit 24095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  P ) )  /\  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <  ( F `
 Q ) ) )  ->  ( (
( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
184173, 176, 178, 182, 183syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
185171, 184mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
186433ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  e.  CC )
187493ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  CC )
188182gt0ne0d 9353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  Q
)  =/=  0 )
189186, 187, 188divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  x.  ( F `  Q )
)  =  ( F `
 P ) )
190189eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  =  ( ( ( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  x.  ( F `  Q ) ) )
191 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  x.  ( F `  Q
) ) )
192191eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  ->  (
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
193192rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  x.  ( F `  Q
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
194185, 190, 193syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
1951943exp 1150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  P )  =/=  0  ->  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( ( F `  P )  <_  ( F `  Q )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) ) )
196170, 195pm2.61ine 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
( F `  P
)  <_  ( F `  Q )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
197158, 196impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
198197adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
199144, 198bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
20026, 199sylan9bbr 681 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
201200anasss 628 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i )
) )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
20218, 201sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
20314, 202syldan 456 . 2  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i )
) )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
20410, 203bitrd 244 1  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   ...cfz 10798   EEcee 24588    Btwn cbtwn 24589
This theorem is referenced by:  axcontlem9  24672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df