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Theorem axcontlem9 24672
Description: Lemma for axcont 24676. Given the separation assumption, all values of  F over  A are less than or equal to all values of  F over  B. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem9.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem9.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. n  e.  ( F " A ) A. m  e.  ( F " B ) n  <_  m )
Distinct variable groups:    A, m, n, p, x    B, m, n, p, x, y   
t, D, x    i, F    m, F    t, F    i, p, t, x, N   
m, N, n, p   
t, N, x    y, N    U, i    U, m, n, p    t, U, x    y, U    i, Z    m, Z, n, p   
t, Z, x    y, Z    F, p
Allowed substitution hints:    A( y, t, i)    B( t, i)    D( y, i, m, n, p)    F( x, y, n)

Proof of Theorem axcontlem9
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  N  e.  NN )
2 simprl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
3 simplr1 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  ( EE `  N ) )
4 simprl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  A
)
53, 4sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
6 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  =/=  U
)
7 axcontlem9.1 . . . . . 6  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
8 axcontlem9.2 . . . . . 6  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
97, 8axcontlem2 24665 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  ->  F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo ) )
101, 2, 5, 6, 9syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-onto-> (
0 [,)  +oo ) )
11 f1ofun 5490 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,)  +oo )  ->  Fun  F )
12 fvelima 5590 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( F " A
) )  ->  E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n )
1312ex 423 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( n  e.  ( F " A
)  ->  E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n ) )
1410, 11, 133syl 18 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( n  e.  ( F " A
)  ->  E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n ) )
15 fvelima 5590 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  m  e.  ( F " B
) )  ->  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m )
1615ex 423 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( m  e.  ( F " B
)  ->  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m ) )
1710, 11, 163syl 18 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( m  e.  ( F " B
)  ->  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m ) )
18 reeanv 2720 . . . 4  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  (
( F `  a
)  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  <->  ( E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n  /\  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m ) )
19 simplr3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. )
20 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  a  Btwn  <. Z , 
y >. ) )
21 opeq2 3813 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  <. Z , 
y >.  =  <. Z , 
b >. )
2221breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
a  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  a  Btwn  <. Z , 
b >. ) )
2320, 22rspc2v 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z , 
y >.  ->  a  Btwn  <. Z ,  b >. ) )
2419, 23mpan9 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  a  Btwn  <. Z ,  b
>. )
25 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  N  e.  NN )
262adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  Z  e.  ( EE `  N
) )
275adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  U  e.  ( EE `  N
) )
2825, 26, 273jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) ) )
29 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  Z  =/=  U )
307axcontlem4 24667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  D
)
3130sseld 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( a  e.  A  ->  a  e.  D ) )
32 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) ) )
337axcontlem3 24666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/= 
U ) )  ->  B  C_  D )
3432, 2, 4, 6, 33syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  D
)
3534sseld 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( b  e.  B  ->  b  e.  D ) )
3631, 35anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  e.  D  /\  b  e.  D )
) )
3736imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  (
a  e.  D  /\  b  e.  D )
)
387, 8axcontlem7 24670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
a  e.  D  /\  b  e.  D )
)  ->  ( a  Btwn  <. Z ,  b
>. 
<->  ( F `  a
)  <_  ( F `  b ) ) )
3928, 29, 37, 38syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  (
a  Btwn  <. Z , 
b >. 
<->  ( F `  a
)  <_  ( F `  b ) ) )
4024, 39mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  ( F `  a )  <_  ( F `  b
) )
41 breq12 4044 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  a
)  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  -> 
( ( F `  a )  <_  ( F `  b )  <->  n  <_  m ) )
4240, 41syl5ibcom 211 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  a )  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  ->  n  <_  m ) )
4342rexlimdvva 2687 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( ( F `  a )  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  ->  n  <_  m ) )
4418, 43syl5bir 209 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n  /\  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m )  ->  n  <_  m ) )
4514, 17, 44syl2and 469 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( n  e.  ( F " A )  /\  m  e.  ( F " B
) )  ->  n  <_  m ) )
4645ralrimivv 2647 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. n  e.  ( F " A ) A. m  e.  ( F " B ) n  <_  m )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   "cima 4708   Fun wfun 5265   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   [,)cico 10674   ...cfz 10798   EEcee 24588    Btwn cbtwn 24589
This theorem is referenced by:  axcontlem10  24673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-z 10041  df-uz 10247  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-ee 24591  df-btwn 24592
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