Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axcontlem9 Structured version   Unicode version

Theorem axcontlem9 25876
 Description: Lemma for axcont 25880. Given the separation assumption, all values of over are less than or equal to all values of over . (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem9.1
axcontlem9.2
Assertion
Ref Expression
axcontlem9
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,   ,,   ,   ,   ,   ,,,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,,,)   (,,)

Proof of Theorem axcontlem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . 5
2 simprl1 1002 . . . . 5
3 simplr1 999 . . . . . 6
4 simprl2 1003 . . . . . 6
53, 4sseldd 3341 . . . . 5
6 simprr 734 . . . . 5
7 axcontlem9.1 . . . . . 6
8 axcontlem9.2 . . . . . 6
97, 8axcontlem2 25869 . . . . 5
101, 2, 5, 6, 9syl31anc 1187 . . . 4
11 f1ofun 5668 . . . 4
12 fvelima 5770 . . . . 5
1312ex 424 . . . 4
1410, 11, 133syl 19 . . 3
15 fvelima 5770 . . . . 5
1615ex 424 . . . 4
1710, 11, 163syl 19 . . 3
18 reeanv 2867 . . . 4
19 simplr3 1001 . . . . . . . 8
20 breq1 4207 . . . . . . . . 9
21 opeq2 3977 . . . . . . . . . 10
2221breq2d 4216 . . . . . . . . 9
2320, 22rspc2v 3050 . . . . . . . 8
2419, 23mpan9 456 . . . . . . 7
25 simplll 735 . . . . . . . . 9
262adantr 452 . . . . . . . . 9
275adantr 452 . . . . . . . . 9
2825, 26, 273jca 1134 . . . . . . . 8
29 simplrr 738 . . . . . . . 8
307axcontlem4 25871 . . . . . . . . . . 11
3130sseld 3339 . . . . . . . . . 10
32 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12
337axcontlem3 25870 . . . . . . . . . . . 12
3432, 2, 4, 6, 33syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11
3534sseld 3339 . . . . . . . . . 10
3631, 35anim12d 547 . . . . . . . . 9
3736imp 419 . . . . . . . 8
387, 8axcontlem7 25874 . . . . . . . 8
3928, 29, 37, 38syl21anc 1183 . . . . . . 7
4024, 39mpbid 202 . . . . . 6
41 breq12 4209 . . . . . 6
4240, 41syl5ibcom 212 . . . . 5
4342rexlimdvva 2829 . . . 4
4418, 43syl5bir 210 . . 3
4514, 17, 44syl2and 470 . 2
4645ralrimivv 2789 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   wss 3312  c0 3620  cop 3809   class class class wbr 4204  copab 4257  cima 4873   wfun 5440  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8980  c1 8981   caddc 8983   cmul 8985   cpnf 9107   cle 9111   cmin 9281  cn 9990  cico 10908  cfz 11033  cee 25792   cbtwn 25793 This theorem is referenced by:  axcontlem10  25877 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-z 10273  df-uz 10479  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-ee 25795  df-btwn 25796
 Copyright terms: Public domain W3C validator