MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc Unicode version

Theorem axdc 8327
Description: This theorem derives ax-dc 8252 using ax-ac 8265 and ax-inf 7519. Thus, AC implies DC, but not vice-versa (so that ZFC is strictly stronger than ZF+DC). (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
axdc  |-  ( ( E. y E. z 
y x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
Distinct variable group:    f, n, x, y, z

Proof of Theorem axdc
Dummy variables  v 
g  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4150 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
u x w  <->  u x
z ) )
21cbvabv 2499 . . . . . . . 8  |-  { w  |  u x w }  =  { z  |  u x z }
3 breq1 4149 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
u x z  <->  v x
z ) )
43abbidv 2494 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  { z  |  u x z }  =  { z  |  v x z } )
52, 4syl5eq 2424 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  { w  |  u x w }  =  { z  |  v x z } )
65fveq2d 5665 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
g `  { w  |  u x w }
)  =  ( g `
 { z  |  v x z } ) )
76cbvmptv 4234 . . . . 5  |-  ( u  e.  _V  |->  ( g `
 { w  |  u x w }
) )  =  ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) )
8 rdgeq1 6598 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  _V  |->  ( g `  { w  |  u x w }
) )  =  ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) )  ->  rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  =  rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) ) ,  y ) )
9 reseq1 5073 . . . . 5  |-  ( rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  =  rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) ) ,  y )  ->  ( rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  |`  om )  =  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  v x z } ) ) ,  y )  |`  om )
)
107, 8, 9mp2b 10 . . . 4  |-  ( rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  |`  om )  =  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  v x z } ) ) ,  y )  |`  om )
1110axdclem2 8326 . . 3  |-  ( E. z  y x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
1211exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. y E. z  y x z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) )
1312imp 419 1  |-  ( ( E. y E. z 
y x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649   {cab 2366   A.wral 2642   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   suc csuc 4517   omcom 4778   dom cdm 4811   ran crn 4812    |` cres 4813   ` cfv 5387   reccrdg 6596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-ac2 8269
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-ac 7923
  Copyright terms: Public domain W3C validator