MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc Unicode version

Theorem axdc 8164
Description: This theorem derives ax-dc 8088 using ax-ac 8101 and ax-inf 7355. Thus, AC implies DC, but not vice-versa (so that ZFC is strictly stronger than ZF+DC). (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
axdc  |-  ( ( E. y E. z 
y x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
Distinct variable group:    f, n, x, y, z

Proof of Theorem axdc
Dummy variables  v 
g  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
u x w  <->  u x
z ) )
21cbvabv 2415 . . . . . . . 8  |-  { w  |  u x w }  =  { z  |  u x z }
3 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  v  ->  (
u x z  <->  v x
z ) )
43abbidv 2410 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  v  ->  { z  |  u x z }  =  { z  |  v x z } )
52, 4syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( u  =  v  ->  { w  |  u x w }  =  { z  |  v x z } )
65fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  (
g `  { w  |  u x w }
)  =  ( g `
 { z  |  v x z } ) )
76cbvmptv 4127 . . . . 5  |-  ( u  e.  _V  |->  ( g `
 { w  |  u x w }
) )  =  ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) )
8 rdgeq1 6440 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  _V  |->  ( g `  { w  |  u x w }
) )  =  ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) )  ->  rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  =  rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) ) ,  y ) )
9 reseq1 4965 . . . . 5  |-  ( rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  =  rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  v x z } ) ) ,  y )  ->  ( rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  |`  om )  =  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  v x z } ) ) ,  y )  |`  om )
)
107, 8, 9mp2b 9 . . . 4  |-  ( rec ( ( u  e. 
_V  |->  ( g `  { w  |  u x w } ) ) ,  y )  |`  om )  =  ( rec ( ( v  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  v x z } ) ) ,  y )  |`  om )
1110axdclem2 8163 . . 3  |-  ( E. z  y x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
1211exlimiv 1624 . 2  |-  ( E. y E. z  y x z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) )
1312imp 418 1  |-  ( ( E. y E. z 
y x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   ` cfv 5271   reccrdg 6438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-ac 7759
  Copyright terms: Public domain W3C validator