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Theorem axdc3lem3 8288
Description: Simple substitution lemma for axdc3 8290. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc3lem3.1  |-  A  e. 
_V
axdc3lem3.2  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
axdc3lem3.3  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
axdc3lem3  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n    A, s, n    B, k, m, n    B, s, k    C, m, n    C, s    m, F, n    F, s
Allowed substitution hints:    A( k)    C( k)    S( k, m, n, s)    F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3
StepHypRef Expression
1 axdc3lem3.2 . . 3  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
21eleq2i 2468 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  (
s `  k )
) ) } )
3 axdc3lem3.3 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 feq1 5535 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
s : suc  n --> A 
<->  B : suc  n --> A ) )
5 fveq1 5686 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  (/) )  =  ( B `  (/) ) )
65eqeq1d 2412 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  (/) )  =  C  <->  ( B `  (/) )  =  C ) )
7 fveq1 5686 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  suc  k )  =  ( B `  suc  k ) )
8 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  k )  =  ( B `  k ) )
98fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( F `  ( s `  k ) )  =  ( F `  ( B `  k )
) )
107, 9eleq12d 2472 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <-> 
( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) ) )
1110ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <->  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) )
124, 6, 113anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1312rexbidv 2687 . . 3  |-  ( s  =  B  ->  ( E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) ) )
143, 13elab 3042 . 2  |-  ( B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) ) }  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
15 suceq 4606 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  suc  n  =  suc  m )
1615feq2d 5540 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( B : suc  n --> A  <->  B : suc  m --> A ) )
17 raleq 2864 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) )  <->  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
1816, 173anbi13d 1256 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( B : suc  n
--> A  /\  ( B `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1918cbvrexv 2893 . 2  |-  ( E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) )  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
202, 14, 193bitri 263 1  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   suc csuc 4543   omcom 4804   -->wf 5409   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  axdc3lem4  8289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-suc 4547  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421
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