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Theorem axdc3lem3 8337
Description: Simple substitution lemma for axdc3 8339. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc3lem3.1  |-  A  e. 
_V
axdc3lem3.2  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
axdc3lem3.3  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
axdc3lem3  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n    A, s, n    B, k, m, n    B, s, k    C, m, n    C, s    m, F, n    F, s
Allowed substitution hints:    A( k)    C( k)    S( k, m, n, s)    F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3
StepHypRef Expression
1 axdc3lem3.2 . . 3  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
21eleq2i 2502 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  (
s `  k )
) ) } )
3 axdc3lem3.3 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 feq1 5579 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
s : suc  n --> A 
<->  B : suc  n --> A ) )
5 fveq1 5730 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  (/) )  =  ( B `  (/) ) )
65eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  (/) )  =  C  <->  ( B `  (/) )  =  C ) )
7 fveq1 5730 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  suc  k )  =  ( B `  suc  k ) )
8 fveq1 5730 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  k )  =  ( B `  k ) )
98fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( F `  ( s `  k ) )  =  ( F `  ( B `  k )
) )
107, 9eleq12d 2506 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <-> 
( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) ) )
1110ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <->  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) )
124, 6, 113anbi123d 1255 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1312rexbidv 2728 . . 3  |-  ( s  =  B  ->  ( E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) ) )
143, 13elab 3084 . 2  |-  ( B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) ) }  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
15 suceq 4649 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  suc  n  =  suc  m )
1615feq2d 5584 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( B : suc  n --> A  <->  B : suc  m --> A ) )
17 raleq 2906 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) )  <->  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
1816, 173anbi13d 1257 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( B : suc  n
--> A  /\  ( B `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1918cbvrexv 2935 . 2  |-  ( E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) )  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
202, 14, 193bitri 264 1  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   suc csuc 4586   omcom 4848   -->wf 5453   ` cfv 5457
This theorem is referenced by:  axdc3lem4  8338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-suc 4590  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465
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