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Theorem axdc3lem3 8168
Description: Simple substitution lemma for axdc3 8170. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc3lem3.1  |-  A  e. 
_V
axdc3lem3.2  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
axdc3lem3.3  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
axdc3lem3  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n    A, s, n    B, k, m, n    B, s, k    C, m, n    C, s    m, F, n    F, s
Allowed substitution hints:    A( k)    C( k)    S( k, m, n, s)    F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3
StepHypRef Expression
1 axdc3lem3.2 . . 3  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
21eleq2i 2422 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  (
s `  k )
) ) } )
3 axdc3lem3.3 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 feq1 5457 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
s : suc  n --> A 
<->  B : suc  n --> A ) )
5 fveq1 5607 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  (/) )  =  ( B `  (/) ) )
65eqeq1d 2366 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  (/) )  =  C  <->  ( B `  (/) )  =  C ) )
7 fveq1 5607 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  suc  k )  =  ( B `  suc  k ) )
8 fveq1 5607 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  k )  =  ( B `  k ) )
98fveq2d 5612 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( F `  ( s `  k ) )  =  ( F `  ( B `  k )
) )
107, 9eleq12d 2426 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <-> 
( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) ) )
1110ralbidv 2639 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <->  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) )
124, 6, 113anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1312rexbidv 2640 . . 3  |-  ( s  =  B  ->  ( E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) ) )
143, 13elab 2990 . 2  |-  ( B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) ) }  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
15 suceq 4539 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  suc  n  =  suc  m )
1615feq2d 5462 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( B : suc  n --> A  <->  B : suc  m --> A ) )
17 raleq 2812 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) )  <->  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
1816, 173anbi13d 1254 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( B : suc  n
--> A  /\  ( B `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1918cbvrexv 2841 . 2  |-  ( E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) )  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
202, 14, 193bitri 262 1  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864   (/)c0 3531   suc csuc 4476   omcom 4738   -->wf 5333   ` cfv 5337
This theorem is referenced by:  axdc3lem4  8169
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-suc 4480  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fv 5345
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