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Theorem axdc4uzlem 11313
Description: Lemma for axdc4uz 11314. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1  |-  M  e.  ZZ
axdc4uz.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
axdc4uz.3  |-  A  e. 
_V
axdc4uz.4  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
axdc4uz.5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Distinct variable groups:    g, k, n, x, A    C, g    g, F, k, n, x   
y, g, M, k, n, x    g, Z, n, x    g, G, k, n, x    k, H
Allowed substitution hints:    A( y)    C( x, y, k, n)    F( y)    G( y)    H( x, y, g, n)    Z( y, k)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  ZZ
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
31, 2om2uzf1oi 11285 . . . . . . . . . 10  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 f1oeq3 5659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
)
73, 6mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  G : om
-1-1-onto-> Z
8 f1of 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  G : om
--> Z )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  G : om
--> Z
109ffvelrni 5861 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  e.  Z )
11 fovrn 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  ( G `  n )  e.  Z  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1210, 11syl3an2 1218 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  n  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
13123expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  (
n  e.  om  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1413ralrimivva 2790 . . . 4  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `
 n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) )
15 axdc4uz.5 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
1615fmpt2 6410 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
1714, 16sylib 189 . . 3  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
18 axdc4uz.3 . . . 4  |-  A  e. 
_V
1918axdc4 8328 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  H : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
2017, 19sylan2 461 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
21 f1ocnv 5679 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  `' G : Z -1-1-onto-> om )
22 f1of 5666 . . . . . . 7  |-  ( `' G : Z -1-1-onto-> om  ->  `' G : Z --> om )
237, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  `' G : Z --> om
24 fco 5592 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  `' G : Z --> om )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
2523, 24mpan2 653 . . . . 5  |-  ( f : om --> A  -> 
( f  o.  `' G ) : Z --> A )
26253ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
27 uzid 10492 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
281, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ( ZZ>= `  M )
2928, 4eleqtrri 2508 . . . . . . 7  |-  M  e.  Z
30 fvco3 5792 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  ( f `
 ( `' G `  M ) ) )
3123, 29, 30mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  ( `' G `  M ) )
321, 2om2uz0i 11279 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 (/) )  =  M
33 peano1 4856 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
34 f1ocnvfv 6008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) ) )
357, 33, 34mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) )
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' G `  M )  =  (/)
3736fveq2i 5723 . . . . . 6  |-  ( f `
 ( `' G `  M ) )  =  ( f `  (/) )
3831, 37eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  (/) )
39 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f `  (/) )  =  C )
4038, 39syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C )
4123ffvelrni 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
4241adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
43 suceq 4638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  suc  m  =  suc  ( `' G `  k ) )
4443fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  suc  m )  =  ( f `  suc  ( `' G `  k ) ) )
45 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  m  =  ( `' G `  k ) )
46 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  m )  =  ( f `  ( `' G `  k ) ) )
4745, 46oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
m H ( f `
 m ) )  =  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
4844, 47eleq12d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  <-> 
( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
4948rspcv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
5042, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
514peano2uzs 10523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
52 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  ( k  +  1 )  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
5323, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( f `
 ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
541, 2om2uzsuci 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
56 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
577, 56mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
5857oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
5955, 58eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 ) )
60 peano2 4857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
6141, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
62 f1ocnvfv 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  suc  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
637, 61, 62sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  -> 
( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
6459, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) )
6564fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( f `
 suc  ( `' G `  k )
) )
6653, 65eqtr2d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
6766adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
68 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
6941, 68sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
70 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( `' G `  k ) ) )
7170oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  (
( G `  n
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F x ) )
72 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  ( `' G `  k ) )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k )
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
73 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  e.  _V
7471, 72, 15, 73ovmpt2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G `  k )  e.  om  /\  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
7542, 69, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
76 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7723, 76mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7877eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  k )
)  =  ( ( f  o.  `' G
) `  k )
)
7957, 78oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8079adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8175, 80eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G
) `  k )
) )
8267, 81eleq12d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8350, 82sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8483impancom 428 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  -> 
( k  e.  Z  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) )
8584ralrimiv 2780 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) )
86853adant2 976 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
87 vex 2951 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
88 rdgfun 6666 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )
89 omex 7590 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
90 resfunexg 5949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M
)  |`  om )  e. 
_V )
9188, 89, 90mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )  e.  _V
922, 91eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9392cnvex 5398 . . . . . 6  |-  `' G  e.  _V
9487, 93coex 5405 . . . . 5  |-  ( f  o.  `' G )  e.  _V
95 feq1 5568 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g : Z --> A  <->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A ) )
96 fveq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  M )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 M ) )
9796eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  M
)  =  C  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C ) )
98 fveq1 5719 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) ) )
99 fveq1 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  k )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) )
10099oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
k F ( g `
 k ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
10198, 100eleq12d 2503 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
102101ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  ( A. k  e.  Z  ( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
10395, 97, 1023anbi123d 1254 . . . . 5  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )  <->  ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) ) )
10494, 103spcev 3035 . . . 4  |-  ( ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `
 M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )  ->  E. g ( g : Z --> A  /\  (
g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10526, 40, 86, 104syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
106105exlimiv 1644 . 2  |-  ( E. f ( f : om --> A  /\  (
f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10720, 106syl 16 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806    e. cmpt 4258   suc csuc 4575   omcom 4837    X. cxp 4868   `'ccnv 4869    |` cres 4872    o. ccom 4874   Fun wfun 5440   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   reccrdg 6659   1c1 8983    + caddc 8985   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480
This theorem is referenced by:  axdc4uz  11314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-dc 8318  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
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