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Theorem axdc4uzlem 11060
Description: Lemma for axdc4uz 11061. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1  |-  M  e.  ZZ
axdc4uz.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
axdc4uz.3  |-  A  e. 
_V
axdc4uz.4  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
axdc4uz.5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Distinct variable groups:    g, k, n, x, A    C, g    g, F, k, n, x   
y, g, M, k, n, x    g, Z, n, x    g, G, k, n, x    k, H
Allowed substitution hints:    A( y)    C( x, y, k, n)    F( y)    G( y)    H( x, y, g, n)    Z( y, k)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  ZZ
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
31, 2om2uzf1oi 11032 . . . . . . . . . 10  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 f1oeq3 5481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
)
73, 6mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  G : om
-1-1-onto-> Z
8 f1of 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  G : om
--> Z )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  G : om
--> Z
109ffvelrni 5680 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  e.  Z )
11 fovrn 6006 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  ( G `  n )  e.  Z  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1210, 11syl3an2 1216 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  n  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
13123expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  (
n  e.  om  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1413ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `
 n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) )
15 axdc4uz.5 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
1615fmpt2 6207 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
1714, 16sylib 188 . . 3  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
18 axdc4uz.3 . . . 4  |-  A  e. 
_V
1918axdc4 8098 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  H : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
2017, 19sylan2 460 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
21 f1ocnv 5501 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  `' G : Z -1-1-onto-> om )
22 f1of 5488 . . . . . . 7  |-  ( `' G : Z -1-1-onto-> om  ->  `' G : Z --> om )
237, 21, 22mp2b 9 . . . . . 6  |-  `' G : Z --> om
24 fco 5414 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  `' G : Z --> om )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
2523, 24mpan2 652 . . . . 5  |-  ( f : om --> A  -> 
( f  o.  `' G ) : Z --> A )
26253ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
27 uzid 10258 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
281, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ( ZZ>= `  M )
2928, 4eleqtrri 2369 . . . . . . 7  |-  M  e.  Z
30 fvco3 5612 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  ( f `
 ( `' G `  M ) ) )
3123, 29, 30mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  ( `' G `  M ) )
321, 2om2uz0i 11026 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 (/) )  =  M
33 peano1 4691 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
34 f1ocnvfv 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) ) )
357, 33, 34mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) )
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' G `  M )  =  (/)
3736fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( f `
 ( `' G `  M ) )  =  ( f `  (/) )
3831, 37eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  (/) )
39 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f `  (/) )  =  C )
4038, 39syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C )
4123ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
4241adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
43 suceq 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  suc  m  =  suc  ( `' G `  k ) )
4443fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  suc  m )  =  ( f `  suc  ( `' G `  k ) ) )
45 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  m  =  ( `' G `  k ) )
46 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  m )  =  ( f `  ( `' G `  k ) ) )
4745, 46oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
m H ( f `
 m ) )  =  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
4844, 47eleq12d 2364 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  <-> 
( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
4948rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
5042, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
514peano2uzs 10289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
52 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  ( k  +  1 )  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
5323, 51, 52sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( f `
 ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
541, 2om2uzsuci 11027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
5541, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
56 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
577, 56mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
5857oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
5955, 58eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 ) )
60 peano2 4692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
6141, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
62 f1ocnvfv 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  suc  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
637, 61, 62sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  -> 
( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
6459, 63mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) )
6564fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( f `
 suc  ( `' G `  k )
) )
6653, 65eqtr2d 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
6766adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
68 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
6941, 68sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
70 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( `' G `  k ) ) )
7170oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  (
( G `  n
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F x ) )
72 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  ( `' G `  k ) )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k )
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
73 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  e.  _V
7471, 72, 15, 73ovmpt2 5999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G `  k )  e.  om  /\  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
7542, 69, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
76 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7723, 76mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7877eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  k )
)  =  ( ( f  o.  `' G
) `  k )
)
7957, 78oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8079adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8175, 80eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G
) `  k )
) )
8267, 81eleq12d 2364 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8350, 82sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8483impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  -> 
( k  e.  Z  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) )
8584ralrimiv 2638 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) )
86853adant2 974 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
87 vex 2804 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
88 rdgfun 6445 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )
89 omex 7360 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
90 resfunexg 5753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M
)  |`  om )  e. 
_V )
9188, 89, 90mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )  e.  _V
922, 91eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9392cnvex 5225 . . . . . 6  |-  `' G  e.  _V
9487, 93coex 5232 . . . . 5  |-  ( f  o.  `' G )  e.  _V
95 feq1 5391 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g : Z --> A  <->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A ) )
96 fveq1 5540 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  M )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 M ) )
9796eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  M
)  =  C  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C ) )
98 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) ) )
99 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  k )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) )
10099oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
k F ( g `
 k ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
10198, 100eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
102101ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  ( A. k  e.  Z  ( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
10395, 97, 1023anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )  <->  ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) ) )
10494, 103spcev 2888 . . . 4  |-  ( ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `
 M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )  ->  E. g ( g : Z --> A  /\  (
g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10526, 40, 86, 104syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
106105exlimiv 1624 . 2  |-  ( E. f ( f : om --> A  /\  (
f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10720, 106syl 15 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   reccrdg 6438   1c1 8754    + caddc 8756   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  axdc4uz  11061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-dc 8088  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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