Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4uzlem Structured version   Unicode version

Theorem axdc4uzlem 11313
 Description: Lemma for axdc4uz 11314. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1
axdc4uz.2
axdc4uz.3
axdc4uz.4
axdc4uz.5
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,,   ,,,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   ()   ()   (,,,)   (,)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11
31, 2om2uzf1oi 11285 . . . . . . . . . 10
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11
5 f1oeq3 5659 . . . . . . . . . . 11
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
73, 6mpbir 201 . . . . . . . . 9
8 f1of 5666 . . . . . . . . 9
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8
109ffvelrni 5861 . . . . . . 7
11 fovrn 6208 . . . . . . 7
1210, 11syl3an2 1218 . . . . . 6
13123expb 1154 . . . . 5
1413ralrimivva 2790 . . . 4
15 axdc4uz.5 . . . . 5
1615fmpt2 6410 . . . 4
1714, 16sylib 189 . . 3
18 axdc4uz.3 . . . 4
1918axdc4 8328 . . 3
2017, 19sylan2 461 . 2
21 f1ocnv 5679 . . . . . . 7
22 f1of 5666 . . . . . . 7
237, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6
24 fco 5592 . . . . . 6
2523, 24mpan2 653 . . . . 5
26253ad2ant1 978 . . . 4
27 uzid 10492 . . . . . . . . 9
281, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8
2928, 4eleqtrri 2508 . . . . . . 7
30 fvco3 5792 . . . . . . 7
3123, 29, 30mp2an 654 . . . . . 6
321, 2om2uz0i 11279 . . . . . . . 8
33 peano1 4856 . . . . . . . . 9
34 f1ocnvfv 6008 . . . . . . . . 9
357, 33, 34mp2an 654 . . . . . . . 8
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . 7
3736fveq2i 5723 . . . . . 6
3831, 37eqtri 2455 . . . . 5
39 simp2 958 . . . . 5
4038, 39syl5eq 2479 . . . 4
4123ffvelrni 5861 . . . . . . . . . 10
4241adantl 453 . . . . . . . . 9
43 suceq 4638 . . . . . . . . . . . 12
4443fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11
45 id 20 . . . . . . . . . . . 12
46 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11
4844, 47eleq12d 2503 . . . . . . . . . 10
4948rspcv 3040 . . . . . . . . 9
5042, 49syl 16 . . . . . . . 8
514peano2uzs 10523 . . . . . . . . . . . 12
52 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . 12
5323, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
541, 2om2uzsuci 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
56 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16
577, 56mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
5955, 58eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
60 peano2 4857 . . . . . . . . . . . . . . 15
6141, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
62 f1ocnvfv 6008 . . . . . . . . . . . . . 14
637, 61, 62sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
6459, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
6564fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11
6653, 65eqtr2d 2468 . . . . . . . . . 10
6766adantl 453 . . . . . . . . 9
68 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12
6941, 68sylan2 461 . . . . . . . . . . 11
70 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
7170oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12
72 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12
73 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12
7471, 72, 15, 73ovmpt2 6201 . . . . . . . . . . 11
7542, 69, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
76 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . 14
7723, 76mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13
7877eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . 12
7957, 78oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11
8079adantl 453 . . . . . . . . . 10
8175, 80eqtrd 2467 . . . . . . . . 9
8267, 81eleq12d 2503 . . . . . . . 8
8350, 82sylibd 206 . . . . . . 7
8483impancom 428 . . . . . 6
8584ralrimiv 2780 . . . . 5
86853adant2 976 . . . 4
87 vex 2951 . . . . . 6
88 rdgfun 6666 . . . . . . . . 9
89 omex 7590 . . . . . . . . 9
90 resfunexg 5949 . . . . . . . . 9
9188, 89, 90mp2an 654 . . . . . . . 8
922, 91eqeltri 2505 . . . . . . 7
9392cnvex 5398 . . . . . 6
9487, 93coex 5405 . . . . 5
95 feq1 5568 . . . . . 6
96 fveq1 5719 . . . . . . 7
9796eqeq1d 2443 . . . . . 6
98 fveq1 5719 . . . . . . . 8
99 fveq1 5719 . . . . . . . . 9
10099oveq2d 6089 . . . . . . . 8
10198, 100eleq12d 2503 . . . . . . 7
102101ralbidv 2717 . . . . . 6
10395, 97, 1023anbi123d 1254 . . . . 5
10494, 103spcev 3035 . . . 4
10526, 40, 86, 104syl3anc 1184 . . 3
106105exlimiv 1644 . 2
10720, 106syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cdif 3309  c0 3620  cpw 3791  csn 3806   cmpt 4258   csuc 4575  com 4837   cxp 4868  ccnv 4869   cres 4872   ccom 4874   wfun 5440  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  crdg 6659  c1 8983   caddc 8985  cz 10274  cuz 10480 This theorem is referenced by:  axdc4uz  11314 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-dc 8318  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
 Copyright terms: Public domain W3C validator