MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4uzlem Unicode version

Theorem axdc4uzlem 11044
Description: Lemma for axdc4uz 11045. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1  |-  M  e.  ZZ
axdc4uz.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
axdc4uz.3  |-  A  e. 
_V
axdc4uz.4  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
axdc4uz.5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Distinct variable groups:    g, k, n, x, A    C, g    g, F, k, n, x   
y, g, M, k, n, x    g, Z, n, x    g, G, k, n, x    k, H
Allowed substitution hints:    A( y)    C( x, y, k, n)    F( y)    G( y)    H( x, y, g, n)    Z( y, k)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  ZZ
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
31, 2om2uzf1oi 11016 . . . . . . . . . 10  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 f1oeq3 5465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
)
73, 6mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  G : om
-1-1-onto-> Z
8 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  G : om
--> Z )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  G : om
--> Z
109ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  e.  Z )
11 fovrn 5990 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  ( G `  n )  e.  Z  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1210, 11syl3an2 1216 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  n  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
13123expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  (
n  e.  om  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1413ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `
 n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) )
15 axdc4uz.5 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
1615fmpt2 6191 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
1714, 16sylib 188 . . 3  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
18 axdc4uz.3 . . . 4  |-  A  e. 
_V
1918axdc4 8082 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  H : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
2017, 19sylan2 460 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
21 f1ocnv 5485 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  `' G : Z -1-1-onto-> om )
22 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( `' G : Z -1-1-onto-> om  ->  `' G : Z --> om )
237, 21, 22mp2b 9 . . . . . 6  |-  `' G : Z --> om
24 fco 5398 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  `' G : Z --> om )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
2523, 24mpan2 652 . . . . 5  |-  ( f : om --> A  -> 
( f  o.  `' G ) : Z --> A )
26253ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
27 uzid 10242 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
281, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ( ZZ>= `  M )
2928, 4eleqtrri 2356 . . . . . . 7  |-  M  e.  Z
30 fvco3 5596 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  ( f `
 ( `' G `  M ) ) )
3123, 29, 30mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  ( `' G `  M ) )
321, 2om2uz0i 11010 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 (/) )  =  M
33 peano1 4675 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
34 f1ocnvfv 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) ) )
357, 33, 34mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) )
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' G `  M )  =  (/)
3736fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( f `
 ( `' G `  M ) )  =  ( f `  (/) )
3831, 37eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  (/) )
39 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f `  (/) )  =  C )
4038, 39syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C )
4123ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
4241adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
43 suceq 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  suc  m  =  suc  ( `' G `  k ) )
4443fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  suc  m )  =  ( f `  suc  ( `' G `  k ) ) )
45 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  m  =  ( `' G `  k ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  m )  =  ( f `  ( `' G `  k ) ) )
4745, 46oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
m H ( f `
 m ) )  =  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
4844, 47eleq12d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  <-> 
( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
4948rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
5042, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
514peano2uzs 10273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
52 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  ( k  +  1 )  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
5323, 51, 52sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( f `
 ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
541, 2om2uzsuci 11011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
5541, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
56 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
577, 56mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
5857oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
5955, 58eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 ) )
60 peano2 4676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
6141, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
62 f1ocnvfv 5794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  suc  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
637, 61, 62sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  -> 
( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
6459, 63mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) )
6564fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( f `
 suc  ( `' G `  k )
) )
6653, 65eqtr2d 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
6766adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
68 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
6941, 68sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
70 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( `' G `  k ) ) )
7170oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  (
( G `  n
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F x ) )
72 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  ( `' G `  k ) )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k )
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
73 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  e.  _V
7471, 72, 15, 73ovmpt2 5983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G `  k )  e.  om  /\  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
7542, 69, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
76 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7723, 76mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7877eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  k )
)  =  ( ( f  o.  `' G
) `  k )
)
7957, 78oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8079adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8175, 80eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G
) `  k )
) )
8267, 81eleq12d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8350, 82sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8483impancom 427 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  -> 
( k  e.  Z  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) )
8584ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) )
86853adant2 974 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
87 vex 2791 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
88 rdgfun 6429 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )
89 omex 7344 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
90 resfunexg 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M
)  |`  om )  e. 
_V )
9188, 89, 90mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )  e.  _V
922, 91eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9392cnvex 5209 . . . . . 6  |-  `' G  e.  _V
9487, 93coex 5216 . . . . 5  |-  ( f  o.  `' G )  e.  _V
95 feq1 5375 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g : Z --> A  <->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A ) )
96 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  M )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 M ) )
9796eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  M
)  =  C  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C ) )
98 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) ) )
99 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  k )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) )
10099oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
k F ( g `
 k ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
10198, 100eleq12d 2351 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
102101ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  ( A. k  e.  Z  ( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
10395, 97, 1023anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )  <->  ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) ) )
10494, 103spcev 2875 . . . 4  |-  ( ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `
 M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )  ->  E. g ( g : Z --> A  /\  (
g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10526, 40, 86, 104syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
106105exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. f ( f : om --> A  /\  (
f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10720, 106syl 15 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   reccrdg 6422   1c1 8738    + caddc 8740   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  axdc4uz  11045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-dc 8072  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator