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Theorem axdc4uzlem 11250
Description: Lemma for axdc4uz 11251. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1  |-  M  e.  ZZ
axdc4uz.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
axdc4uz.3  |-  A  e. 
_V
axdc4uz.4  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
axdc4uz.5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Distinct variable groups:    g, k, n, x, A    C, g    g, F, k, n, x   
y, g, M, k, n, x    g, Z, n, x    g, G, k, n, x    k, H
Allowed substitution hints:    A( y)    C( x, y, k, n)    F( y)    G( y)    H( x, y, g, n)    Z( y, k)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  ZZ
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )
31, 2om2uzf1oi 11222 . . . . . . . . . 10  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 f1oeq3 5609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  M )
)
73, 6mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  G : om
-1-1-onto-> Z
8 f1of 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  G : om
--> Z )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  G : om
--> Z
109ffvelrni 5810 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  e.  Z )
11 fovrn 6157 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  ( G `  n )  e.  Z  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1210, 11syl3an2 1218 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  n  e.  om  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  n
) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
13123expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/)
} )  /\  (
n  e.  om  /\  x  e.  A )
)  ->  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
1413ralrimivva 2743 . . . 4  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `
 n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) )
15 axdc4uz.5 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( ( G `  n ) F x ) )
1615fmpt2 6359 . . . 4  |-  ( A. n  e.  om  A. x  e.  A  ( ( G `  n ) F x )  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
1714, 16sylib 189 . . 3  |-  ( F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } )  ->  H :
( om  X.  A
) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )
18 axdc4uz.3 . . . 4  |-  A  e. 
_V
1918axdc4 8271 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  H : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
2017, 19sylan2 461 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. f
( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) ) )
21 f1ocnv 5629 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> Z  ->  `' G : Z -1-1-onto-> om )
22 f1of 5616 . . . . . . 7  |-  ( `' G : Z -1-1-onto-> om  ->  `' G : Z --> om )
237, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  `' G : Z --> om
24 fco 5542 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  `' G : Z --> om )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
2523, 24mpan2 653 . . . . 5  |-  ( f : om --> A  -> 
( f  o.  `' G ) : Z --> A )
26253ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A )
27 uzid 10434 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
281, 27ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ( ZZ>= `  M )
2928, 4eleqtrri 2462 . . . . . . 7  |-  M  e.  Z
30 fvco3 5741 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  ( f `
 ( `' G `  M ) ) )
3123, 29, 30mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  ( `' G `  M ) )
321, 2om2uz0i 11216 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 (/) )  =  M
33 peano1 4806 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
34 f1ocnvfv 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( G `
 (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) ) )
357, 33, 34mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  (/) )  =  M  ->  ( `' G `  M )  =  (/) )
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' G `  M )  =  (/)
3736fveq2i 5673 . . . . . 6  |-  ( f `
 ( `' G `  M ) )  =  ( f `  (/) )
3831, 37eqtri 2409 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  `' G
) `  M )  =  ( f `  (/) )
39 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( f `  (/) )  =  C )
4038, 39syl5eq 2433 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C )
4123ffvelrni 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
4241adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( `' G `  k )  e.  om )
43 suceq 4589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  suc  m  =  suc  ( `' G `  k ) )
4443fveq2d 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  suc  m )  =  ( f `  suc  ( `' G `  k ) ) )
45 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  m  =  ( `' G `  k ) )
46 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
f `  m )  =  ( f `  ( `' G `  k ) ) )
4745, 46oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
m H ( f `
 m ) )  =  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
4844, 47eleq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' G `  k )  ->  (
( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  <-> 
( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
4948rspcv 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
5042, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) ) ) )
514peano2uzs 10465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
52 fvco3 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  ( k  +  1 )  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
5323, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( f `
 ( `' G `  ( k  +  1 ) ) ) )
541, 2om2uzsuci 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 ) )
56 f1ocnvfv2 5956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
577, 56mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
5857oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) )  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
5955, 58eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 ) )
60 peano2 4807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  k )  e.  om  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
6141, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  suc  ( `' G `  k )  e.  om )
62 f1ocnvfv 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> Z  /\  suc  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( ( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
637, 61, 62sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( k  +  1 )  -> 
( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) ) )
6459, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  ( `' G `  ( k  +  1 ) )  =  suc  ( `' G `  k ) )
6564fveq2d 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( f `
 suc  ( `' G `  k )
) )
6653, 65eqtr2d 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
6766adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  =  ( ( f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) ) )
68 ffvelrn 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( `' G `  k )  e.  om )  -> 
( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
6941, 68sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )
70 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( `' G `  k ) ) )
7170oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( `' G `  k )  ->  (
( G `  n
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F x ) )
72 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  ( `' G `  k ) )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k )
) F x )  =  ( ( G `
 ( `' G `  k ) ) F ( f `  ( `' G `  k ) ) ) )
73 ovex 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  e.  _V
7471, 72, 15, 73ovmpt2 6150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' G `  k )  e.  om  /\  ( f `  ( `' G `  k ) )  e.  A )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
7542, 69, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) ) )
76 fvco3 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G : Z --> om  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7723, 76mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( f  o.  `' G ) `  k
)  =  ( f `
 ( `' G `  k ) ) )
7877eqcomd 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  ->  (
f `  ( `' G `  k )
)  =  ( ( f  o.  `' G
) `  k )
)
7957, 78oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8079adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( G `  ( `' G `  k ) ) F ( f `
 ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
8175, 80eqtrd 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G
) `  k )
) )
8267, 81eleq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( f `  suc  ( `' G `  k ) )  e.  ( ( `' G `  k ) H ( f `  ( `' G `  k ) ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8350, 82sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om --> A  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. m  e. 
om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) )  ->  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
8483impancom 428 . . . . . 6  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  -> 
( k  e.  Z  ->  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) )
8584ralrimiv 2733 . . . . 5  |-  ( ( f : om --> A  /\  A. m  e.  om  (
f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `  m
) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) )
86853adant2 976 . . . 4  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
87 vex 2904 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
88 rdgfun 6612 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )
89 omex 7533 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
90 resfunexg 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M
)  |`  om )  e. 
_V )
9188, 89, 90mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +  1 ) ) ,  M )  |`  om )  e.  _V
922, 91eqeltri 2459 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9392cnvex 5348 . . . . . 6  |-  `' G  e.  _V
9487, 93coex 5355 . . . . 5  |-  ( f  o.  `' G )  e.  _V
95 feq1 5518 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g : Z --> A  <->  ( f  o.  `' G ) : Z --> A ) )
96 fveq1 5669 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  M )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 M ) )
9796eqeq1d 2397 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  M
)  =  C  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  M )  =  C ) )
98 fveq1 5669 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 ( k  +  1 ) ) )
99 fveq1 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
g `  k )  =  ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) )
10099oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
k F ( g `
 k ) )  =  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )
10198, 100eleq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
102101ralbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  ( A. k  e.  Z  ( g `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `  k ) )  <->  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) ) )
10395, 97, 1023anbi123d 1254 . . . . 5  |-  ( g  =  ( f  o.  `' G )  ->  (
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) )  <->  ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `  M
)  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( ( f  o.  `' G ) `  (
k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `
 k ) ) ) ) )
10494, 103spcev 2988 . . . 4  |-  ( ( ( f  o.  `' G ) : Z --> A  /\  ( ( f  o.  `' G ) `
 M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( (
f  o.  `' G
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( ( f  o.  `' G ) `  k
) ) )  ->  E. g ( g : Z --> A  /\  (
g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10526, 40, 86, 104syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( f : om --> A  /\  ( f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
106105exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f ( f : om --> A  /\  (
f `  (/) )  =  C  /\  A. m  e.  om  ( f `  suc  m )  e.  ( m H ( f `
 m ) ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
10720, 106syl 16 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( Z  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : Z --> A  /\  ( g `  M )  =  C  /\  A. k  e.  Z  ( g `  ( k  +  1 ) )  e.  ( k F ( g `
 k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901    \ cdif 3262   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759    e. cmpt 4209   suc csuc 4526   omcom 4787    X. cxp 4818   `'ccnv 4819    |` cres 4822    o. ccom 4824   Fun wfun 5390   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   reccrdg 6605   1c1 8926    + caddc 8928   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422
This theorem is referenced by:  axdc4uz  11251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-dc 8261  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423
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