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Theorem axdclem2 8335
Description: Lemma for axdc 8336. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function  g on  ~P dom  x. From this, we can build a sequence  F starting at any value  s  e.  dom  x by repeatedly applying  g to the set  ( F `  x ) (where  x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem2.1  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
axdclem2  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Distinct variable groups:    f, F, n    y, F, z, n   
f, g, x, n   
g, s, y, n   
z, g    x, y,
z
Allowed substitution hints:    F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2904 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21dmex 5074 . . . 4  |-  dom  x  e.  _V
32pwex 4325 . . 3  |-  ~P dom  x  e.  _V
43ac4c 8291 . 2  |-  E. g A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )
5 frfnom 6630 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om
6 axdclem2.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
76fneq1i 5481 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om )
85, 7mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  F  Fn  om
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  Fn  om )
10 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  (/) ) )
11 suceq 4589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
1211fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 suc  n )  =  ( F `  suc  (/) ) )
1310, 12breq12d 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  <->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
14 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
15 suceq 4589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  suc  n  =  suc  k )
1615fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  k ) )
1714, 16breq12d 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) x ( F `
 suc  n )  <->  ( F `  k ) x ( F `  suc  k ) ) )
18 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 suc  k )
)
19 suceq 4589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  suc  k  ->  suc  n  =  suc  suc  k )
2019fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  suc  k ) )
2118, 20breq12d 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( ( F `  n ) x ( F `  suc  n
)  <->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
226fveq1i 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )
23 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  s  e. 
_V
24 fr0g 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  _V  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s
2622, 25eqtri 2409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 (/) )  =  s
2726breq1i 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  (/) ) x z  <->  s x z )
2827biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s x z  ->  ( F `  (/) ) x z )
2928eximi 1582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  s x z  ->  E. z ( F `
 (/) ) x z )
30 peano1 4806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
316axdclem 8334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( (/)  e.  om  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
3230, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
3329, 32syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z  s x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) )
34333com23 1159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
35 fvex 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
36 fvex 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 suc  k )  e.  _V
3735, 36brelrn 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k )  e.  ran  x )
38 ssel 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  suc  k )  e.  ran  x  ->  ( F `  suc  k )  e.  dom  x ) )
3937, 38syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  ( F `  suc  k )  e. 
dom  x ) )
4036eldm 5009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  suc  k
)  e.  dom  x  <->  E. z ( F `  suc  k ) x z )
4139, 40syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
4241ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
43 peano2 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
446axdclem 8334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( suc  k  e.  om  ->  ( F `  suc  k
) x ( F `
 suc  suc  k ) ) )
4543, 44syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
46453expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x )  -> 
( E. z ( F `  suc  k
) x z  -> 
( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4746com3r 75 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4847imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
4942, 48syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
50493adantr2 1117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x ) )  ->  ( ( F `  k )
x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
5150ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  (
( F `  k
) x ( F `
 suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
5213, 17, 21, 34, 51finds2 4815 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
5352com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n
) ) )
54 fvex 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
55 fvex 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 suc  n )  e.  _V
5654, 55breldm 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  ( F `  n )  e.  dom  x )
5753, 56syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
5857ralrimiv 2733 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x )
59 ffnfv 5835 . . . . . . 7  |-  ( F : om --> dom  x  <->  ( F  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
609, 58, 59sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F : om --> dom  x )
61 omex 7533 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  om  e.  _V )
632a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  dom  x  e.  _V )
64 fex2 5545 . . . . . 6  |-  ( ( F : om --> dom  x  /\  om  e.  _V  /\  dom  x  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
6560, 62, 63, 64syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  e.  _V )
6653ralrimiv 2733 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) )
67 fveq1 5669 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
68 fveq1 5669 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  suc  n )  =  ( F `  suc  n ) )
6967, 68breq12d 4168 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) ) )
7069ralbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  A. n  e.  om  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
7170spcegv 2982 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
7265, 66, 71sylc 58 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
73723exp 1152 . . 3  |-  ( A. y  e.  ~P  dom  x
( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
7473exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. g A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
754, 74ax-mp 8 1  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375    =/= wne 2552   A.wral 2651   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   suc csuc 4526   omcom 4787   dom cdm 4820   ran crn 4821    |` cres 4822    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396   reccrdg 6605
This theorem is referenced by:  axdc  8336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-ac2 8278
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-ac 7932
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