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Theorem axextnd 8466
Description: A version of the Axiom of Extensionality with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
axextnd  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )

Proof of Theorem axextnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfnae 2044 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
2 nfnae 2044 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
31, 2nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
4 nfcvf 2594 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
54adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
65nfcrd 2585 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
7 nfcvf 2594 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
87adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
98nfcrd 2585 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  z )
106, 9nfbid 1854 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  <-> 
w  e.  z ) )
11 elequ1 1728 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
12 elequ1 1728 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
1311, 12bibi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  e.  y  <-> 
w  e.  z )  <-> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  z ) ) )
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  <->  w  e.  z )  <->  ( x  e.  y  <->  x  e.  z
) ) ) )
153, 10, 14cbvald 1986 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  y  <->  w  e.  z
)  <->  A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z ) ) )
16 axext3 2419 . . . . . 6  |-  ( A. w ( w  e.  y  <->  w  e.  z
)  ->  y  =  z )
1715, 16syl6bir 221 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z ) )
18 19.8a 1762 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  E. x  y  =  z )
1917, 18syl6 31 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  E. x  y  =  z )
)
2019ex 424 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. x
( x  e.  y  <-> 
x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z ) ) )
21 a9e 1952 . . . . 5  |-  E. x  x  =  z
22 nfae 2042 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  y
23 ax-8 1687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  z ) )
2423sps 1770 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( x  =  z  ->  y  =  z ) )
2522, 24eximd 1786 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x  x  =  z  ->  E. x  y  =  z )
)
2621, 25mpi 17 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x  y  =  z )
2726a1d 23 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z )
)
28 a9e 1952 . . . . 5  |-  E. x  x  =  y
29 nfae 2042 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  z
30 ax-8 1687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  -> 
z  =  y ) )
31 equcomi 1691 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  y  =  z )
3230, 31syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  -> 
y  =  z ) )
3332sps 1770 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  y  =  z ) )
3429, 33eximd 1786 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x  x  =  y  ->  E. x  y  =  z )
)
3528, 34mpi 17 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x  y  =  z )
3635a1d 23 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z )
)
3720, 27, 36pm2.61ii 159 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  E. x  y  =  z )
383719.35ri 1612 1  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550   F/_wnfc 2559
This theorem is referenced by:  zfcndext  8488  axextprim  25150  axextdfeq  25425  axextndbi  25432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561
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