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Theorem axextnd 8213
Description: A version of the Axiom of Extensionality with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
axextnd  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )

Proof of Theorem axextnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfnae 1896 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
2 nfnae 1896 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
31, 2nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
4 nfcvd 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
5 nfcvf 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
74, 6nfeld 2434 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
8 nfcvf 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
98adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
104, 9nfeld 2434 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  z )
117, 10nfbid 1762 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  <-> 
w  e.  z ) )
12 elequ1 1687 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
13 elequ1 1687 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
1412, 13bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  e.  y  <-> 
w  e.  z )  <-> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  z ) ) )
1514a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  <->  w  e.  z )  <->  ( x  e.  y  <->  x  e.  z
) ) ) )
163, 11, 15cbvald 1948 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  y  <->  w  e.  z
)  <->  A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z ) ) )
17 axext3 2266 . . . . . 6  |-  ( A. w ( w  e.  y  <->  w  e.  z
)  ->  y  =  z )
1816, 17syl6bir 220 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z ) )
19 19.8a 1718 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  E. x  y  =  z )
2018, 19syl6 29 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  E. x  y  =  z )
)
2120ex 423 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. x
( x  e.  y  <-> 
x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z ) ) )
22 a9e 1891 . . . . 5  |-  E. x  x  =  z
23 nfa1 1756 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  y
24 ax-8 1643 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  z ) )
2524sps 1739 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( x  =  z  ->  y  =  z ) )
2623, 25eximd 1750 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x  x  =  z  ->  E. x  y  =  z )
)
2722, 26mpi 16 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x  y  =  z )
2827a1d 22 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z )
)
29 a9e 1891 . . . . 5  |-  E. x  x  =  y
30 nfa1 1756 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  z
31 ax-8 1643 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  -> 
z  =  y ) )
32 equcomi 1646 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  y  =  z )
3331, 32syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  -> 
y  =  z ) )
3433sps 1739 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  y  =  z ) )
3530, 34eximd 1750 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x  x  =  y  ->  E. x  y  =  z )
)
3629, 35mpi 16 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x  y  =  z )
3736a1d 22 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z )
)
3821, 28, 37pm2.61ii 157 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  E. x  y  =  z )
393819.35ri 1589 1  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406
This theorem is referenced by:  zfcndext  8235  axextprim  24047  axextdfeq  24154  axextndbi  24161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408
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