Theorem axgroth2 8773

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom.

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	|- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 8772	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
2		visset 1816	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
3		ssdomg 4414	. . . . . . . . . 10 |- (z e. V -> (z (_ y -> z ~<_ y))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z (_ y -> z ~<_ y)
5	4	biantrurd 729	. . . . . . . 8 |- (z (_ y -> (y ~<_ z <-> (z ~<_ y /\ y ~<_ z)))
6		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- y e. V
7		sbthbg 4464	. . . . . . . . 9 |- (y e. V -> ((z ~<_ y /\ y ~<_ z) <-> z ~~ y))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((z ~<_ y /\ y ~<_ z) <-> z ~~ y)
9	5, 8	syl6bb 538	. . . . . . 7 |- (z (_ y -> (y ~<_ z <-> z ~~ y))
10	9	orbi1d 617	. . . . . 6 |- (z (_ y -> ((y ~<_ z \/ z e. y) <-> (z ~~ y \/ z e. y)))
11	10	pm5.74i 586	. . . . 5 |- ((z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)) <-> (z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
12	11	albii 1001	. . . 4 |- (A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y)))
13	12	3anbi3i 828	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y))))
14	13	exbii 1053	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (z ~~ y \/ z e. y))))
15	1, 14	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777  A.wal 956   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050   class class class wbr 2624   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371

This theorem is referenced by:  axgroth3 8774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-groth 8772

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain