MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth2 Structured version   Unicode version

Theorem axgroth2 8700
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth2
StepHypRef Expression
1 ax-groth 8698 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
2 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3 ssdomg 7153 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  C_  y  ->  z  ~<_  y ) )
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  y  ->  z  ~<_  y )
54biantrurd 495 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  <->  ( z  ~<_  y  /\  y  ~<_  z ) ) )
6 sbthb 7228 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  <->  z  ~~  y )
75, 6syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  <->  z  ~~  y ) )
87orbi1d 684 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( y  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
98pm5.74i 237 . . . . 5  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
109albii 1575 . . . 4  |-  ( A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
11103anbi3i 1146 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) ) )
1211exbii 1592 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) ) )
131, 12mpbir 201 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107
This theorem is referenced by:  axgroth3  8706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-groth 8698
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111
  Copyright terms: Public domain W3C validator