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Theorem axgroth3 8453
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 8061 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 8447 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  C_  z
3 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  C_  z  <->  z  C_  z ) )
4 elequ1 1687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  e.  w  <->  z  e.  w ) )
53, 4imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
( v  C_  z  ->  v  e.  w )  <-> 
( z  C_  z  ->  z  e.  w ) ) )
65spv 1938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  ( z  C_  z  ->  z  e.  w ) )
72, 6mpi 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  w )
87reximi 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  E. w  e.  y  z  e.  w )
9 eluni2 3831 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. w  e.  y  z  e.  w )
108, 9sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  U. y )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  ->  z  e.  U. y )
1211ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
13 dfss3 3170 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. y  <->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
1412, 13sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  y  C_  U. y )
15 ne0i 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
16 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1716dominf 8071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  y  C_ 
U. y )  ->  om 
~<_  y )
1815, 17sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  om  ~<_  y )
19 grothac 8452 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  card  =  _V
2016, 19eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
dom  card
21 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2221, 19eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
dom  card
23 infdif2 7836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\  z  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  y )  -> 
( ( y  \ 
z )  ~<_  z  <->  y  ~<_  z ) )
2420, 22, 23mp3an12 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  y  ->  ( (
y  \  z )  ~<_  z 
<->  y  ~<_  z ) )
2518, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  <-> 
y  ~<_  z ) )
2625orbi1d 683 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( ( y  \  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2726imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( z 
C_  y  ->  (
( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2827albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2914, 28sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  -> 
( A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3029pm5.32i 618 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
31 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
32 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 268 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3433exbii 1569 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
351, 34mpbir 200 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   omcom 4656   dom cdm 4689    ~<_ cdom 6861   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  axgroth4  8454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-groth 8445
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794
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