Theorem axgroth3 8779

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom. ax-ac 4744 is used to derive this version.

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	|- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 8778	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y)))
2		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
3	2	dominf 4904	. . . . . . . . . . 11 |- ((y =/= (/) /\ y (_ U.y) -> om ~<_ y)
4		ne0i 2286	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. y -> y =/= (/))
5	3, 4	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> om ~<_ y)
6		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
7	2, 6	infdif2 7569	. . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ y -> ((y \ z) ~<_ z <-> y ~<_ z))
8	5, 7	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> ((y \ z) ~<_ z <-> y ~<_ z))
9	8	orbi1d 615	. . . . . . . 8 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> (((y \ z) ~<_ z \/ z e. y) <-> (y ~<_ z \/ z e. y)))
10	9	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> ((z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> (z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
11	10	albidv 1278	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y (_ U.y) -> (A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
12		ssid 2080	. . . . . . . . . . . 12 |- z (_ z
13		sseq1 2082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> (v (_ z <-> z (_ z))
14		elequ1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> (v e. w <-> z e. w))
15	13, 14	imbi12d 626	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = z -> ((v (_ z -> v e. w) <-> (z (_ z -> z e. w)))
16	15	a4v 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.v(v (_ z -> v e. w) -> (z (_ z -> z e. w))
17	12, 16	mpi 44	. . . . . . . . . . 11 |- (A.v(v (_ z -> v e. w) -> z e. w)
18	17	r19.22si 1734	. . . . . . . . . 10 |- (E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w) -> E.w e. y z e. w)
19		eluni2 2507	. . . . . . . . . 10 |- (z e. U.y <-> E.w e. y z e. w)
20	18, 19	sylibr 200	. . . . . . . . 9 |- (E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w) -> z e. U.y)
21	20	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> z e. U.y)
22	21	r19.20si 1706	. . . . . . 7 |- (A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> A.z e. y z e. U.y)
23		dfss3 2059	. . . . . . 7 |- (y (_ U.y <-> A.z e. y z e. U.y)
24	22, 23	sylibr 200	. . . . . 6 |- (A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) -> y (_ U.y)
25	11, 24	sylan2 451	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) -> (A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
26	25	pm5.32i 645	. . . 4 |- (((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
27		df-3an 777	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))))
28		df-3an 777	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))) <-> ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w))) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
29	26, 27, 28	3bitr4 183	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
30	29	exbii 1051	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> (y ~<_ z \/ z e. y))))
31	1, 30	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.v(v (_ z -> v e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   (_ wss 2047  (/)c0 2280  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  omcom 3131   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  axgroth4 8780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-groth 8777

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-iso 3199  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-2o 4134  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816  df-cda 4918  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain