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Theorem axgroth4 8541
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 8172 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 8540 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 elequ2 1715 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  v  ->  (
u  e.  w  <->  u  e.  v ) )
32imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  v  ->  (
( u  C_  z  ->  u  e.  w )  <-> 
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
43albidv 1625 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  ( A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
)  <->  A. u ( u 
C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
54cbvrexv 2841 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
)  <->  E. v  e.  y 
A. u ( u 
C_  z  ->  u  e.  v ) )
65anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. v  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
7 r19.42v 2770 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. v  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
8 sseq1 3275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  (
u  C_  z  <->  w  C_  z
) )
9 elequ1 1713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  (
u  e.  v  <->  w  e.  v ) )
108, 9imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  w  ->  (
( u  C_  z  ->  u  e.  v )  <-> 
( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
1110cbvalv 2007 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v )  <->  A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  v ) )
1211anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
13 19.26 1593 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  (
w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <-> 
( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
14 pm4.76 836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )
15 elin 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( y  i^i  v )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) )
1615imbi2i 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )
1714, 16bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) ) )
1817albii 1566 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  (
w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
1912, 13, 183bitr2i 264 . . . . . . 7  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
2019rexbii 2644 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
216, 7, 203bitr2i 264 . . . . 5  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  <->  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
2221ralbii 2643 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  <->  A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) ) )
23223anbi2i 1143 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2423exbii 1582 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
251, 24mpbi 199 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   class class class wbr 4102    ~<_ cdom 6946
This theorem is referenced by:  grothprim  8543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-reg 7393  ax-inf2 7429  ax-cc 8148  ax-groth 8532
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881
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