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Theorem axgroth5 8446
Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
axgroth5  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem axgroth5
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-groth 8445 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
2 biid 227 . . . 4  |-  ( x  e.  y  <->  x  e.  y )
3 pwss 3639 . . . . . 6  |-  ( ~P z  C_  y  <->  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y ) )
4 pwss 3639 . . . . . . 7  |-  ( ~P z  C_  w  <->  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
54rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  y  ~P z  C_  w  <->  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
63, 5anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  <->  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) ) )
76ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  <->  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )
8 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
)  <->  A. z ( z  e.  ~P y  -> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
9 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
109elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~P y  <->  z  C_  y )
1110imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
1211albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
~P y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
)  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
) )
138, 12bitri 240 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
)  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
) )
142, 7, 133anbi123i 1140 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) ) )
1514exbii 1569 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) ) )
161, 15mpbir 200 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  grothpw  8448  grothpwex  8449  axgroth6  8450  grothtsk  8457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-groth 8445
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627
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