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Theorem axgroth6 8450
Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set  x, there exists a set  y containing  x, the subsets of the members of  y, the power sets of the members of  y, and the subsets of  y of cardinality less than that of  y. (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
axgroth6  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
Distinct variable group:    x, y, z

Proof of Theorem axgroth6
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth5 8446 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 biid 227 . . . 4  |-  ( x  e.  y  <->  x  e.  y )
3 pweq 3628 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  v  ->  ~P z  =  ~P v
)
43sseq1d 3205 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  v  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P v  C_  y ) )
54cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  <->  A. v  e.  y  ~P v  C_  y )
6 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ~P z  C_ 
~P z
7 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ~P z  -> 
( ~P z  C_  w 
<->  ~P z  C_  ~P z ) )
87rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P z  e.  y  /\  ~P z  C_  ~P z )  ->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
96, 8mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  e.  y  ->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
10 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  w  ->  ~P v  =  ~P w
)
1110sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  ( ~P v  C_  y  <->  ~P w  C_  y ) )
1211rspccv 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  (
w  e.  y  ->  ~P w  C_  y ) )
13 pwss 3639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P w  C_  y  <->  A. v
( v  C_  w  ->  v  e.  y ) )
14 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
1514pwex 4193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P z  e.  _V
16 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( v  C_  w  <->  ~P z  C_  w )
)
17 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( v  e.  y  <->  ~P z  e.  y
) )
1816, 17imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( ( v  C_  w  ->  v  e.  y )  <->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) ) )
1915, 18spcv 2874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  C_  w  ->  v  e.  y )  ->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y )
)
2013, 19sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P w  C_  y  ->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) )
2112, 20syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  (
w  e.  y  -> 
( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) ) )
2221rexlimdv 2666 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( E. w  e.  y  ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y
) )
239, 22impbid2 195 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( ~P z  e.  y  <->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
)
2423ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  <->  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
255, 24sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  <->  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
2625pm5.32i 618 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
27 r19.26 2675 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
28 r19.26 2675 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )
2926, 27, 283bitr4i 268 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  <->  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
3014elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~P y  <->  z  C_  y )
31 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  C_  y  /\  z  ~<_  y )  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
32 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
33 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  C_  y  ->  z  ~<_  y ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  z  ~<_  y )
3534pm4.71i 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  C_  y  /\  z  ~<_  y ) )
3635imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( ( z 
C_  y  /\  z  ~<_  y )  ->  ( -.  z  ~~  y  -> 
z  e.  y ) ) )
37 brsdom 6884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
~<  y  <->  ( z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y ) )
3837imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  ( (
z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y )  -> 
z  e.  y ) )
39 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y )  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4038, 39bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4140imbi2i 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )  <-> 
( z  C_  y  ->  ( z  ~<_  y  -> 
( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
4231, 36, 413bitr4ri 269 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )  <-> 
( z  C_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4342pm5.74ri 237 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
44 pm4.64 361 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
4543, 44syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
4630, 45sylbi 187 . . . . 5  |-  ( z  e.  ~P y  -> 
( ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
4746ralbiia 2575 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  A. z  e.  ~P  y ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) )
482, 29, 473anbi123i 1140 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~<  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
4948exbii 1569 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
501, 49mpbir 200 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  grothomex  8451  grothac  8452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-groth 8445
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-dom 6865  df-sdom 6866
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