HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhis2-zf Unicode version

Theorem axhis2-zf 22339
Description: Derive axiom ax-his2 22426 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
axhil.2  |-  U  e. 
CHil OLD
axhfi.1  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
axhis2-zf  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  +h  B
)  .ih  C )  =  ( ( A 
.ih  C )  +  ( B  .ih  C
) ) )

Proof of Theorem axhis2-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2  |-  U  e. 
CHil OLD
2 df-hba 22313 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 axhil.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43fveq2i 5664 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
52, 4eqtr4i 2403 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
61hlnvi 22235 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
73, 6h2hva 22318 . . 3  |-  +h  =  ( +v `  U )
8 axhfi.1 . . 3  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
95, 7, 8hlipdir 22255 . 2  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  +h  B )  .ih  C )  =  ( ( A  .ih  C )  +  ( B  .ih  C ) ) )
101, 9mpan 652 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  +h  B
)  .ih  C )  =  ( ( A 
.ih  C )  +  ( B  .ih  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3753   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    + caddc 8919   BaseSetcba 21906   .i
OLDcdip 22037   CHil
OLDchlo 22228   ~Hchil 22263    +h cva 22264    .h csm 22265    .ih csp 22266   normhcno 22267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-grpo 21620  df-gid 21621  df-ginv 21622  df-ablo 21711  df-vc 21866  df-nv 21912  df-va 21915  df-ba 21916  df-sm 21917  df-0v 21918  df-nmcv 21920  df-dip 22038  df-ph 22155  df-cbn 22206  df-hlo 22229  df-hba 22313
  Copyright terms: Public domain W3C validator