HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhvcom-zf Unicode version

Theorem axhvcom-zf 21677
Description: Derive axiom ax-hvcom 21695 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 27-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
axhil.2  |-  U  e. 
CHil OLD
Assertion
Ref Expression
axhvcom-zf  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  B
)  =  ( B  +h  A ) )

Proof of Theorem axhvcom-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2  |-  U  e. 
CHil OLD
2 df-hba 21663 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 axhil.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43fveq2i 5611 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
52, 4eqtr4i 2381 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
61hlnvi 21585 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
73, 6h2hva 21668 . . 3  |-  +h  =  ( +v `  U )
85, 7hlcom 21593 . 2  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  B
)  =  ( B  +h  A ) )
91, 8mp3an1 1264 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  +h  B
)  =  ( B  +h  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   <.cop 3719   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   BaseSetcba 21256   CHil
OLDchlo 21578   ~Hchil 21613    +h cva 21614    .h csm 21615   normhcno 21617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-nmcv 21270  df-cbn 21556  df-hlo 21579  df-hba 21663
  Copyright terms: Public domain W3C validator