HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhvmul0-zf Structured version   Unicode version

Theorem axhvmul0-zf 22488
Description: Derive axiom ax-hvmul0 22506 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
axhil.2  |-  U  e. 
CHil OLD
Assertion
Ref Expression
axhvmul0-zf  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )

Proof of Theorem axhvmul0-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2  |-  U  e. 
CHil OLD
2 df-hba 22465 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 axhil.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43fveq2i 5724 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
52, 4eqtr4i 2459 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
61hlnvi 22387 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
73, 6h2hsm 22471 . . 3  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
8 df-h0v 22466 . . . 4  |-  0h  =  ( 0vec `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
93fveq2i 5724 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
108, 9eqtr4i 2459 . . 3  |-  0h  =  ( 0vec `  U )
115, 7, 10hlmul0 22404 . 2  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  A  e.  ~H )  ->  ( 0  .h  A
)  =  0h )
121, 11mpan 652 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3810   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   0cc0 8983   BaseSetcba 22058   0veccn0v 22060   CHil
OLDchlo 22380   ~Hchil 22415    +h cva 22416    .h csm 22417   normhcno 22419   0hc0v 22420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-ltxr 9118  df-grpo 21772  df-gid 21773  df-ginv 21774  df-ablo 21863  df-vc 22018  df-nv 22064  df-va 22067  df-ba 22068  df-sm 22069  df-0v 22070  df-nmcv 22072  df-cbn 22358  df-hlo 22381  df-hba 22465  df-h0v 22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator