HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhvmulass-zf Unicode version

Theorem axhvmulass-zf 22340
Description: Derive axiom ax-hvmulass 22358 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
axhil.2  |-  U  e. 
CHil OLD
Assertion
Ref Expression
axhvmulass-zf  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  x.  B
)  .h  C )  =  ( A  .h  ( B  .h  C
) ) )

Proof of Theorem axhvmulass-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2  |-  U  e. 
CHil OLD
2 df-hba 22320 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 axhil.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43fveq2i 5671 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
52, 4eqtr4i 2410 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
61hlnvi 22242 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
73, 6h2hsm 22326 . . 3  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
85, 7hlmulass 22256 . 2  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  x.  B )  .h  C )  =  ( A  .h  ( B  .h  C ) ) )
91, 8mpan 652 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  x.  B
)  .h  C )  =  ( A  .h  ( B  .h  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3760   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921    x. cmul 8928   BaseSetcba 21913   CHil
OLDchlo 22235   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272   normhcno 22274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-nmcv 21927  df-cbn 22213  df-hlo 22236  df-hba 22320
  Copyright terms: Public domain W3C validator