HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhvmulid-zf Unicode version

Theorem axhvmulid-zf 21881
Description: Derive axiom ax-hvmulid 21899 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
axhil.2  |-  U  e. 
CHil OLD
Assertion
Ref Expression
axhvmulid-zf  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
1  .h  A )  =  A )

Proof of Theorem axhvmulid-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2  |-  U  e. 
CHil OLD
2 df-hba 21862 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 axhil.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43fveq2i 5635 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
52, 4eqtr4i 2389 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
61hlnvi 21784 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
73, 6h2hsm 21868 . . 3  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
85, 7hlmulid 21797 . 2  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  A  e.  ~H )  ->  ( 1  .h  A
)  =  A )
91, 8mpan 651 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
1  .h  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   <.cop 3732   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1c1 8885   BaseSetcba 21455   CHil
OLDchlo 21777   ~Hchil 21812    +h cva 21813    .h csm 21814   normhcno 21816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-vc 21415  df-nv 21461  df-va 21464  df-ba 21465  df-sm 21466  df-0v 21467  df-nmcv 21469  df-cbn 21755  df-hlo 21778  df-hba 21862
  Copyright terms: Public domain W3C validator