Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Unicode version

Theorem axi2m1 8735
 Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8759. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 8656 . . . . . 6
2 1sr 8657 . . . . . 6
3 mulcnsr 8712 . . . . . 6
41, 2, 1, 2, 3mp4an 657 . . . . 5
5 00sr 8675 . . . . . . . . 9
61, 5ax-mp 10 . . . . . . . 8
7 1idsr 8674 . . . . . . . . . . 11
82, 7ax-mp 10 . . . . . . . . . 10
98oveq2i 5789 . . . . . . . . 9
10 m1r 8658 . . . . . . . . . 10
11 1idsr 8674 . . . . . . . . . 10
1210, 11ax-mp 10 . . . . . . . . 9
139, 12eqtri 2276 . . . . . . . 8
146, 13oveq12i 5790 . . . . . . 7
15 addcomsr 8663 . . . . . . 7
16 0idsr 8673 . . . . . . . 8
1710, 16ax-mp 10 . . . . . . 7
1814, 15, 173eqtri 2280 . . . . . 6
19 00sr 8675 . . . . . . . . 9
202, 19ax-mp 10 . . . . . . . 8
21 1idsr 8674 . . . . . . . . 9
221, 21ax-mp 10 . . . . . . . 8
2320, 22oveq12i 5790 . . . . . . 7
24 0idsr 8673 . . . . . . . 8
251, 24ax-mp 10 . . . . . . 7
2623, 25eqtri 2276 . . . . . 6
2718, 26opeq12i 3761 . . . . 5
284, 27eqtri 2276 . . . 4
2928oveq1i 5788 . . 3
30 addresr 8714 . . . 4
3110, 2, 30mp2an 656 . . 3
32 m1p1sr 8668 . . . 4
3332opeq1i 3759 . . 3
3429, 31, 333eqtri 2280 . 2
35 df-i 8700 . . . 4
3635, 35oveq12i 5790 . . 3
37 df-1 8699 . . 3
3836, 37oveq12i 5790 . 2
39 df-0 8698 . 2
4034, 38, 393eqtr4i 2286 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1619   wcel 1621  cop 3603  (class class class)co 5778  cnr 8443  c0r 8444  c1r 8445  cm1r 8446   cplr 8447   cmr 8448  cc0 8691  c1 8692  ci 8693   caddc 8694   cmul 8696 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-ni 8450  df-pli 8451  df-mi 8452  df-lti 8453  df-plpq 8486  df-mpq 8487  df-ltpq 8488  df-enq 8489  df-nq 8490  df-erq 8491  df-plq 8492  df-mq 8493  df-1nq 8494  df-rq 8495  df-ltnq 8496  df-np 8559  df-1p 8560  df-plp 8561  df-mp 8562  df-ltp 8563  df-plpr 8633  df-mpr 8634  df-enr 8635  df-nr 8636  df-plr 8637  df-mr 8638  df-0r 8640  df-1r 8641  df-m1r 8642  df-c 8697  df-0 8698  df-1 8699  df-i 8700  df-plus 8702  df-mul 8703
 Copyright terms: Public domain W3C validator