Theorem axinf2 4548

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 4546 and Regularity ax-reg 4517.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 4549 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified.

Assertion

Ref	Expression
axinf2	|- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3112	. . 3 |- (/) e. om
2		peano2 3113	. . . 4 |- (y e. om -> suc y e. om)
3	2	ax-gen 955	. . 3 |- A.y(y e. om -> suc y e. om)
4		axinf 4547	. . . . . 6 |- E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))
5	4	inf2 4532	. . . . 5 |- E.x(x =/= (/) /\ x (_ U.x)
6	5	inf3 4544	. . . 4 |- om e. V
7		eleq2 1511	. . . . 5 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
8		eleq2 1511	. . . . . . 7 |- (x = om -> (y e. x <-> y e. om))
9		eleq2 1511	. . . . . . 7 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
10	8, 9	imbi12d 624	. . . . . 6 |- (x = om -> ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. om -> suc y e. om)))
11	10	albidv 1260	. . . . 5 |- (x = om -> (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. om -> suc y e. om)))
12	7, 11	anbi12d 626	. . . 4 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> ((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om))))
13	6, 12	cla4ev 1842	. . 3 |- (((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om)) -> E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)))
14	1, 3, 13	mp2an 694	. 2 |- E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x))
15		0el 2267	. . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
16		df-rex 1626	. . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
17	15, 16	bitr 173	. . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
18		sucel 3005	. . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
19		df-rex 1626	. . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
20	18, 19	bitr 173	. . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
21	20	imbi2i 185	. . . . 5 |- ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
22	21	albii 975	. . . 4 |- (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 481	. . 3 |- (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
24	23	exbii 1027	. 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 189	1 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  E.wrex 1622  (/)c0 2251  suc csuc 2913  omcom 3094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-reg 4517  ax-inf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fv 3161  df-rdg 3871

Copyright terms: Public domain