Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axinf2 Structured version   Unicode version

Theorem axinf2 7587
 Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 7585 and Regularity ax-reg 7552. This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 7588 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)
Assertion
Ref Expression
axinf2
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem axinf2
StepHypRef Expression
1 peano1 4856 . . 3
2 peano2 4857 . . . 4
32ax-gen 1555 . . 3
4 zfinf 7586 . . . . . 6
54inf2 7570 . . . . 5
65inf3 7582 . . . 4
7 eleq2 2496 . . . . 5
8 eleq2 2496 . . . . . . 7
9 eleq2 2496 . . . . . . 7
108, 9imbi12d 312 . . . . . 6
1110albidv 1635 . . . . 5
127, 11anbi12d 692 . . . 4
136, 12spcev 3035 . . 3
141, 3, 13mp2an 654 . 2
15 0el 3636 . . . . 5
16 df-rex 2703 . . . . 5
1715, 16bitri 241 . . . 4
18 sucel 4646 . . . . . . 7
19 df-rex 2703 . . . . . . 7
2018, 19bitri 241 . . . . . 6
2120imbi2i 304 . . . . 5
2221albii 1575 . . . 4
2317, 22anbi12i 679 . . 3
2423exbii 1592 . 2
2514, 24mpbi 200 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359  wal 1549  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  c0 3620   csuc 4575  com 4837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf 7585 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
 Copyright terms: Public domain W3C validator