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Theorem axinf2 7587
Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 7585 and Regularity ax-reg 7552.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 7588 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion
Ref Expression
axinf2  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem axinf2
StepHypRef Expression
1 peano1 4856 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 peano2 4857 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
32ax-gen 1555 . . 3  |-  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4 zfinf 7586 . . . . . 6  |-  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )
54inf2 7570 . . . . 5  |-  E. x
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )
65inf3 7582 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  om ) )
8 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  om ) )
9 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  y  e.  om )
)
108, 9imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
1110albidv 1635 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
127, 11anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( (/)  e.  om  /\ 
A. y ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
) ) )
136, 12spcev 3035 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  A. y ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) )  ->  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) ) )
141, 3, 13mp2an 654 . 2  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )
15 0el 3636 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y )
16 df-rex 2703 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
) )
1715, 16bitri 241 . . . 4  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y ) )
18 sucel 4646 . . . . . . 7  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z  e.  x  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )
19 df-rex 2703 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) )  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2018, 19bitri 241 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2120imbi2i 304 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2221albii 1575 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2317, 22anbi12i 679 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2423exbii 1592 . 2  |-  ( E. x ( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )
)  <->  E. x ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2514, 24mpbi 200 1  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   (/)c0 3620   suc csuc 4575   omcom 4837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
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