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Theorem axinfndlem1 8485
Description: Lemma for the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axinfndlem1  |-  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axinfndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfinf 7597 . . . . 5  |-  E. w
( y  e.  w  /\  A. y ( y  e.  w  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
2 nfnae 2045 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 2045 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
42, 3nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
5 nfcvf 2596 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
65adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
7 nfcvd 2575 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
86, 7nfeld 2589 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  e.  w )
9 nfnae 2045 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
10 nfnae 2045 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
119, 10nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
12 nfnae 2045 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
13 nfnae 2045 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
1412, 13nfan 1847 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
15 nfcvf 2596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
1615adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
176, 16nfeld 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  e.  z )
1816, 7nfeld 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  w )
1917, 18nfand 1844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) )
2014, 19nfexd 1874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) )
218, 20nfimd 1828 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( y  e.  w  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
2211, 21nfald 1872 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y ( y  e.  w  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
238, 22nfand 1844 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( y  e.  w  /\  A. y ( y  e.  w  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) ) )
24 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  w  =  x )
2524eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
26 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y w )
27 nfcvf2 2597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
2827adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y x )
2926, 28nfeqd 2588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ y  w  =  x )
3011, 29nfan1 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
31 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z w )
32 nfcvf2 2597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
3332adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z x )
3431, 33nfeqd 2588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ z  w  =  x )
3514, 34nfan1 1846 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
36 elequ2 1731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  x ) )
3736anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
3837adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
3935, 38exbid 1790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )
4025, 39imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( y  e.  w  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) )  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
4130, 40albid 1789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y ( y  e.  w  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
4225, 41anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( y  e.  w  /\  A. y ( y  e.  w  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )  <->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) )
4342ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( y  e.  w  /\  A. y ( y  e.  w  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )  <->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) ) )
444, 23, 43cbvexd 1989 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w ( y  e.  w  /\  A. y
( y  e.  w  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )  <->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) )
451, 44mpbii 204 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
4645a1d 24 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
4746ex 425 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) ) )
48 nd1 8467 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
4948pm2.21d 101 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
50 nd2 8468 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. x  y  e.  z )
5150pm2.21d 101 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
5247, 49, 51pm2.61ii 160 1  |-  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551   F/_wnfc 2561
This theorem is referenced by:  axinfnd  8486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-reg 7563  ax-inf 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-nul 3631  df-sn 3822  df-pr 3823
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