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Theorem axinfprim 24067
Description: ax-inf 7355 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axinfprim  |-  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )

Proof of Theorem axinfprim
StepHypRef Expression
1 axinfnd 8244 . 2  |-  E. x
( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
2 df-an 360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) )
32exbii 1572 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  E. z  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) )
4 exnal 1564 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )  <->  -. 
A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )
)
53, 4bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) )
65imbi2i 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) )
76albii 1556 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x
) ) )
87anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )  <->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x
) ) ) )
9 df-an 360 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) )  <->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )
) ) )
108, 9bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )  <->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )
1110imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( y  e.  z  -> 
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )  <-> 
( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) ) )
1211exbii 1572 . . 3  |-  ( E. x ( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  E. x ( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )
) ) ) )
13 df-ex 1532 . . 3  |-  ( E. x ( y  e.  z  ->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) ) )
1412, 13bitri 240 . 2  |-  ( E. x ( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) ) )
151, 14mpbi 199 1  |-  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-reg 7322  ax-inf 7355
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660
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