Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdim2 Unicode version

Theorem axlowdim2 24588
Description: The lower two dimensional axiom. In any space where the dimension is greater than one, there are three non-colinear points. Axiom A8 of [Schwabhauser] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdim2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. z  e.  ( EE `  N
)  -.  ( x 
Btwn  <. y ,  z
>.  \/  y  Btwn  <. z ,  x >.  \/  z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
Distinct variable group:    x, N, y, z

Proof of Theorem axlowdim2
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . 3  |-  0  e.  RR
21, 1axlowdimlem5 24574 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
3 1re 8837 . . 3  |-  1  e.  RR
43, 1axlowdimlem5 24574 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
51, 3axlowdimlem5 24574 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
96, 7, 8axlowdimlem6 24575 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
10 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >.  =  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
1110breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >.  <->  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
12 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
1312breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  <->  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
14 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
z  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  <->  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
1511, 13, 143orbi123d 1251 . . . . 5  |-  ( z  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
z ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) ) )
1615notbid 285 . . . 4  |-  ( z  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  ( -.  ( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
z ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  -.  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) ) )
1716rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  /\  -.  ( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )  ->  E. z  e.  ( EE `  N )  -.  ( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
z ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
185, 9, 17syl2anc 642 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. z  e.  ( EE `  N
)  -.  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) )
19 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
x  Btwn  <. y ,  z >.  <->  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >. )
)
20 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  <. z ,  x >.  =  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) >. )
2120breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
y  Btwn  <. z ,  x >.  <->  y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) >. )
)
22 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  <. x ,  y >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. )
2322breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
z  Btwn  <. x ,  y >.  <->  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. ) )
2419, 21, 233orbi123d 1251 . . . . 5  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( x  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  x >.  \/  z  Btwn  <. x ,  y >. )  <->  ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. ) ) )
2524notbid 285 . . . 4  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  ( -.  ( x  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  x >.  \/  z  Btwn  <. x ,  y >. )  <->  -.  ( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. ) ) )
2625rexbidv 2564 . . 3  |-  ( x  =  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  ( E. z  e.  ( EE `  N )  -.  ( x  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  x >.  \/  z  Btwn  <. x ,  y >. )  <->  E. z  e.  ( EE
`  N )  -.  ( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. ) ) )
27 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  <. y ,  z >.  =  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >. )
2827breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >.  <->  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >. ) )
29 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  <->  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) >. )
)
30 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
3130breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
z  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >.  <->  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
3228, 29, 313orbi123d 1251 . . . . 5  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. )  <->  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) ) )
3332notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  ( -.  ( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. )  <->  -.  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
z ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) ) )
3433rexbidv 2564 . . 3  |-  ( y  =  ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  ->  ( E. z  e.  ( EE `  N )  -.  ( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  Btwn  <. y ,  z >.  \/  y  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  y >. )  <->  E. z  e.  ( EE `  N
)  -.  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) ) )
3526, 34rspc2ev 2892 . 2  |-  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  /\  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  /\  E. z  e.  ( EE `  N
)  -.  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  z >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. z ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  z  Btwn  <. ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. z  e.  ( EE `  N
)  -.  ( x 
Btwn  <. y ,  z
>.  \/  y  Btwn  <. z ,  x >.  \/  z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
362, 4, 18, 35syl3anc 1182 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. z  e.  ( EE `  N
)  -.  ( x 
Btwn  <. y ,  z
>.  \/  y  Btwn  <. z ,  x >.  \/  z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738   2c2 9795   3c3 9796   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   EEcee 24516    Btwn cbtwn 24517
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-ee 24519  df-btwn 24520
  Copyright terms: Public domain W3C validator