Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem10 Unicode version

Theorem axlowdimlem10 24651
Description: Lemma for axlowdim 24661. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem10
StepHypRef Expression
1 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( I  +  1 )  e. 
_V
2 1ex 8849 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
31, 2f1osn 5529 . . . . . . . 8  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } -1-1-onto-> { 1 }
4 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } -1-1-onto-> { 1 }  ->  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 } )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }
6 c0ex 8848 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
76fconst 5443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 }
85, 7pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )
9 disjdif 3539 . . . . . 6  |-  ( { ( I  +  1 ) }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  (/)
10 fun 5421 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )  /\  ( { ( I  + 
1 ) }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. ( I  + 
1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
118, 9, 10mp2an 653 . . . . 5  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )
12 axlowdimlem10.1 . . . . . 6  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1312feq1i 5399 . . . . 5  |-  ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )  <->  ( { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
1411, 13mpbir 200 . . . 4  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )
15 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
16 snssi 3775 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
1715, 16ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 1 }  C_  RR
18 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
19 snssi 3775 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
2018, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 0 }  C_  RR
2117, 20unssi 3363 . . . 4  |-  ( { 1 }  u.  {
0 } )  C_  RR
22 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )  /\  ( { 1 }  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR )
2314, 21, 22mp2an 653 . . 3  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR
24 fznatpl1 24108 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2524snssd 3776 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  { ( I  +  1 ) } 
C_  ( 1 ... N ) )
26 undif 3547 . . . . 5  |-  ( { ( I  +  1 ) }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N
) )
2725, 26sylib 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N ) )
2827feq2d 5396 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
2923, 28mpbii 202 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q : ( 1 ... N ) --> RR )
30 elee 24594 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( EE `  N )  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
3130adantr 451 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q  e.  ( EE `  N
)  <->  Q : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3229, 31mpbird 223 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656    X. cxp 4703   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   NNcn 9762   ...cfz 10798   EEcee 24588
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  24655  axlowdimlem15  24656  axlowdimlem16  24657  axlowdimlem17  24658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-ee 24591
  Copyright terms: Public domain W3C validator