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Theorem axlowdimlem15 24656
Description: Lemma for axlowdim 24661. Set up a one-to-one function of points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem15.1  |-  F  =  ( i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) 
|->  if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE `  N ) )
Distinct variable group:    i, N
Allowed substitution hint:    F( i)

Proof of Theorem axlowdimlem15
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifeqor 3615 . . . 4  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  \/  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
2 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )
32axlowdimlem7 24648 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N ) )
5 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  ->  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) ) )
64, 5syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  ( EE
`  N ) ) )
7 3nn 9894 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
8 uznnssnn 10282 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
109sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1211axlowdimlem10 24651 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
1310, 12sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
14 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) ) )
1513, 14syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  ( EE
`  N ) ) )
166, 15jaoi 368 . . . 4  |-  ( ( if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  \/  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
) ) )
171, 16ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
) )
18 axlowdimlem15.1 . . 3  |-  F  =  ( i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) 
|->  if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
1917, 18fmptd 5700 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) --> ( EE `  N ) )
20 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
i  =  1  <->  j  =  1 ) )
21 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
2221opeq1d 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  <. (
i  +  1 ) ,  1 >.  =  <. ( j  +  1 ) ,  1 >. )
2322sneqd 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  =  { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. } )
2421sneqd 3666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  { ( i  +  1 ) }  =  { ( j  +  1 ) } )
2524difeq2d 3307 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } ) )
2625xpeq1d 4728 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1 ... N )  \  {
( i  +  1 ) } )  X. 
{ 0 } )  =  ( ( ( 1 ... N ) 
\  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
2723, 26uneq12d 3343 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
2820, 27ifbieq2d 3598 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
29 snex 4232 . . . . . . . . 9  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  e.  _V
30 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
31 difexg 4178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  e.  _V )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } )  e.  _V
33 snex 4232 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  e.  _V
3432, 33xpex 4817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
3529, 34unex 4534 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  _V
36 snex 4232 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  e.  _V
37 difexg 4178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  e.  _V )
3830, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( j  +  1 ) } )  e.  _V
3938, 33xpex 4817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
4036, 39unex 4534 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  _V
4135, 40ifex 3636 . . . . . . 7  |-  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
4228, 18, 41fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
43 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
i  =  1  <->  k  =  1 ) )
44 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
i  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
4544opeq1d 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  <. (
i  +  1 ) ,  1 >.  =  <. ( k  +  1 ) ,  1 >. )
4645sneqd 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  =  { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. } )
4744sneqd 3666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  { ( i  +  1 ) }  =  { ( k  +  1 ) } )
4847difeq2d 3307 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } ) )
4948xpeq1d 4728 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( 1 ... N )  \  {
( i  +  1 ) } )  X. 
{ 0 } )  =  ( ( ( 1 ... N ) 
\  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
5046, 49uneq12d 3343 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
5143, 50ifbieq2d 3598 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
52 snex 4232 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  e.  _V
53 difexg 4178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  e.  _V )
5430, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( k  +  1 ) } )  e.  _V
5554, 33xpex 4817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
5652, 55unex 4534 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  _V
5735, 56ifex 3636 . . . . . . 7  |-  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
5851, 18, 57fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
5942, 58eqeqan12d 2311 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 j )  =  ( F `  k
)  <->  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) ) )
6059adantl 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  j )  =  ( F `  k )  <->  if (
j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) ) )
61 eqtr3 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  j  =  k )
6261a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) )
6362a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
652, 64axlowdimlem13 24654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =/=  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
6665neneqd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
6766pm2.21d 98 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
6867adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
6910, 68sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
70 iftrue 3584 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) )
71 iffalse 3585 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  1  ->  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
7270, 71eqeqan12d 2311 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) ) )
7372imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
7469, 73syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
75 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
762, 75axlowdimlem13 24654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =/=  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
7776necomd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =/=  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) )
7877neneqd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) )
7978pm2.21d 98 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
8010, 79sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
8180adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
82 iffalse 3585 . . . . . . . 8  |-  ( -.  j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
83 iftrue 3584 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) )
8482, 83eqeqan12d 2311 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ) )
8584imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
8681, 85syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
8775, 64axlowdimlem14 24655 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
88873expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  (
( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
8910, 88sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
9082, 71eqeqan12d 2311 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
9190imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
9289, 91syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
9363, 74, 86, 924cases 915 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) )
9460, 93sylbid 206 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  j )  =  ( F `  k )  ->  j  =  k ) )
9594ralrimivva 2648 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A. j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) A. k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 j )  =  ( F `  k
)  ->  j  =  k ) )
96 dff13 5799 . 2  |-  ( F : ( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE
`  N )  <->  ( F : ( 1 ... ( N  -  1 ) ) --> ( EE
`  N )  /\  A. j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) A. k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  j
)  =  ( F `
 k )  -> 
j  =  k ) ) )
9719, 95, 96sylanbrc 645 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   <.cop 3656    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   3c3 9812   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   EEcee 24588
This theorem is referenced by:  axlowdim  24661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-ee 24591
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