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Theorem axlowdimlem17 25889
Description: Lemma for axlowdim 25892. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem16.2  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem17.3  |-  A  =  ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem17.4  |-  X  e.  RR
axlowdimlem17.5  |-  Y  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >. )

Proof of Theorem axlowdimlem17
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn 10126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  NN
21nnzi 10297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ZZ
3 2re 10061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
4 3re 10063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR
5 2lt3 10135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  3
63, 4, 5ltleii 9188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  3
7 2z 10304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
87eluz1i 10487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
92, 6, 8mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 uztrn 10494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
119, 10mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
13 fzss2 11084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... N
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... N
) )
15 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  e.  ( 1 ... 2
) )
1614, 15sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
17 fznuz 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... 2 )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
1817adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
19 uzid 10492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
202, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
21 df-3 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2221fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
2320, 22eleqtri 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
24 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  3  ->  (
i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  <->  3  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
2523, 24mpbiri 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  3  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
2625necon3bi 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  ->  i  =/=  3 )
2718, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  =/=  3 )
28 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2928axlowdimlem9 25881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  3 )  -> 
( P `  i
)  =  0 )
3016, 27, 29syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( P `  i )  =  0 )
31 elfzuz 11047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3231ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
33 eluzp1p1 10503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
35 uzss 10498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( 2  +  1 ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( 2  +  1 ) ) )
3736, 18ssneldd 3343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) )
38 eluzelz 10488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
3934, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
40 uzid 10492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
I  +  1 ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) )
42 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  <->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) ) )
4341, 42syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) ) )
4443necon3bd 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  ->  i  =/=  ( I  +  1 ) ) )
4537, 44mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  =/=  ( I  +  1
) )
46 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
4746axlowdimlem12 25884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  i
)  =  0 )
4816, 45, 47syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
4930, 48eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( P `  i )  =  ( Q `  i ) )
5049oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) )
5150oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )
5251sumeq2dv 12489 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 2
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
5328, 46axlowdimlem16 25888 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
54 axlowdimlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )
5554fveq1i 5721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A `
 i )  =  ( ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)
56 axlowdimlem2 25874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
57 axlowdimlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X  e.  RR
58 axlowdimlem17.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Y  e.  RR
5957, 58axlowdimlem4 25876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
60 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
->  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
6159, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 )
62 axlowdimlem1 25873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
63 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR  ->  ( (
3 ... N )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( 3 ... N ) )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } )  Fn  ( 3 ... N )
65 fvun2 5787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  i  e.  ( 3 ... N
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  =  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) `  i
) )
6661, 64, 65mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1 ... 2 )  i^i  (
3 ... N ) )  =  (/)  /\  i  e.  ( 3 ... N
) )  ->  (
( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i ) )
6756, 66mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  (
( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i ) )
6855, 67syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  ( A `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) `  i ) )
69 c0ex 9077 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
7069fvconst2 5939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  (
( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i )  =  0 )
7168, 70eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  ( A `  i )  =  0 )
7271adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( A `  i )  =  0 )
7372oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( P `  i )  -  0 ) )
7428axlowdimlem7 25879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
7574ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
76 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
771, 76eleqtri 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
78 fzss1 11083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
7977, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
8079sseli 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
8180adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
82 fveecn 25833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
8375, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
8483subid1d 9392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  0 )  =  ( P `  i
) )
8573, 84eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( P `  i
) )
8685oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( P `  i ) ^ 2 ) )
8786sumeq2dv 12489 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 ) )
8872oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  -  0 ) )
89 uznnssnn 10516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
901, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
9190sseli 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
92 2nn 10125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
9392, 76eleqtri 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
94 fzss1 11083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
9695sseli 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
9746axlowdimlem10 25882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
9891, 96, 97syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
99 fveecn 25833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
10098, 80, 99syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
101100subid1d 9392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  0 )  =  ( Q `  i
) )
10288, 101eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( Q `  i
) )
103102oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( (
( Q `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )
104103sumeq2dv 12489 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
10553, 87, 1043eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
10652, 105oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
10756a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )
108 eluzelre 10489 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  RR )
109 eluzle 10490 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
110 letr 9159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <_  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <_  N
) )
1113, 4, 110mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 2  <_  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <_  N
) )
1126, 111mpani 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  ->  2  <_  N ) )
113108, 109, 112sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <_  N )
114 1re 9082 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
115 1lt2 10134 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
116114, 3, 115ltleii 9188 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
117113, 116jctil 524 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
118117adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
119 eluzelz 10488 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
120119adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
121 1z 10303 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
122 elfz 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
1237, 121, 122mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
124120, 123syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
125118, 124mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
126 fzsplit 11069 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
127125, 126syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
12821oveq1i 6083 . . . . . 6  |-  ( 3 ... N )  =  ( ( 2  +  1 ) ... N
)
129128uneq2i 3490 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... 2 )  u.  ( 3 ... N ) )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) )
130127, 129syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
131 fzfid 11304 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
13274ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
133132, 82sylancom 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
134 eluz 10491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  3 ) )
1357, 2, 134mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  2  <_  3
)
1366, 135mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
137 uzss 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 ) )
138136, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 )
139138sseli 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
14057, 58axlowdimlem5 25877 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
14154, 140syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
142139, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
143142ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
144 fveecn 25833 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
145143, 144sylancom 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
146133, 145subcld 9403 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
147146sqcld 11513 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  e.  CC )
148107, 130, 131, 147fsumsplit 12525 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
14998, 99sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
150149, 145subcld 9403 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
151150sqcld 11513 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( Q `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  e.  CC )
152107, 130, 131, 151fsumsplit 12525 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
153106, 148, 1523eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
15474adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  P  e.  ( EE `  N
) )
155142adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
156 brcgr 25831 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( Q  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. P ,  A >.Cgr
<. Q ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
157154, 155, 98, 155, 156syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
158153, 157mpbird 224 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   {cpr 3807   <.cop 3809   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   ^cexp 11374   sum_csu 12471   EEcee 25819  Cgrccgr 25821
This theorem is referenced by:  axlowdim  25892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-ee 25822  df-cgr 25824
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