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Theorem axlowdimlem17 25613
Description: Lemma for axlowdim 25616. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem16.2  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem17.3  |-  A  =  ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem17.4  |-  X  e.  RR
axlowdimlem17.5  |-  Y  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >. )

Proof of Theorem axlowdimlem17
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn 10068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  NN
21nnzi 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ZZ
3 2re 10003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
4 3re 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR
5 2lt3 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  3
63, 4, 5ltleii 9129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  3
7 2z 10246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
87eluz1i 10429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
92, 6, 8mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 uztrn 10436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
119, 10mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
13 fzss2 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... N
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... N
) )
15 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  e.  ( 1 ... 2
) )
1614, 15sseldd 3294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
17 fznuz 11061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... 2 )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
1817adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
19 uzid 10434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
202, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
21 df-3 9993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
2221fveq2i 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
2320, 22eleqtri 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
24 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  3  ->  (
i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  <->  3  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
2523, 24mpbiri 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  3  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
2625necon3bi 2593 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  ->  i  =/=  3 )
2718, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  =/=  3 )
28 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2928axlowdimlem9 25605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  3 )  -> 
( P `  i
)  =  0 )
3016, 27, 29syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( P `  i )  =  0 )
31 elfzuz 10989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3231ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
33 eluzp1p1 10445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
35 uzss 10440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( 2  +  1 ) ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( 2  +  1 ) ) )
3736, 18ssneldd 3296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) )
38 eluzelz 10430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
3934, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
40 uzid 10434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
I  +  1 ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) )
42 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  <->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) ) )
4341, 42syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) ) )
4443necon3bd 2589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  ->  i  =/=  ( I  +  1 ) ) )
4537, 44mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  =/=  ( I  +  1
) )
46 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
4746axlowdimlem12 25608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  i
)  =  0 )
4816, 45, 47syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
4930, 48eqtr4d 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( P `  i )  =  ( Q `  i ) )
5049oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) )
5150oveq1d 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )
5251sumeq2dv 12426 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 2
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
5328, 46axlowdimlem16 25612 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
54 axlowdimlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )
5554fveq1i 5671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A `
 i )  =  ( ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)
56 axlowdimlem2 25598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
57 axlowdimlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X  e.  RR
58 axlowdimlem17.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Y  e.  RR
5957, 58axlowdimlem4 25600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
60 ffn 5533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
->  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
6159, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 )
62 axlowdimlem1 25597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
63 ffn 5533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR  ->  ( (
3 ... N )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( 3 ... N ) )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } )  Fn  ( 3 ... N )
65 fvun2 5736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  i  e.  ( 3 ... N
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  =  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) `  i
) )
6661, 64, 65mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1 ... 2 )  i^i  (
3 ... N ) )  =  (/)  /\  i  e.  ( 3 ... N
) )  ->  (
( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i ) )
6756, 66mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  (
( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i ) )
6855, 67syl5eq 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  ( A `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) `  i ) )
69 c0ex 9020 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
7069fvconst2 5888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  (
( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i )  =  0 )
7168, 70eqtrd 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  ( A `  i )  =  0 )
7271adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( A `  i )  =  0 )
7372oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( P `  i )  -  0 ) )
7428axlowdimlem7 25603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
7574ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
76 nnuz 10455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
771, 76eleqtri 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
78 fzss1 11025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
7977, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
8079sseli 3289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
8180adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
82 fveecn 25557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
8375, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
8483subid1d 9334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  0 )  =  ( P `  i
) )
8573, 84eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( P `  i
) )
8685oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( P `  i ) ^ 2 ) )
8786sumeq2dv 12426 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 ) )
8872oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  -  0 ) )
89 uznnssnn 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
901, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
9190sseli 3289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
92 2nn 10067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
9392, 76eleqtri 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
94 fzss1 11025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
9695sseli 3289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
9746axlowdimlem10 25606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
9891, 96, 97syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
99 fveecn 25557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
10098, 80, 99syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
101100subid1d 9334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  0 )  =  ( Q `  i
) )
10288, 101eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( Q `  i
) )
103102oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( (
( Q `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )
104103sumeq2dv 12426 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
10553, 87, 1043eqtr4d 2431 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
10652, 105oveq12d 6040 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
10756a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )
108 eluzelre 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  RR )
109 eluzle 10432 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
110 letr 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <_  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <_  N
) )
1113, 4, 110mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 2  <_  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <_  N
) )
1126, 111mpani 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  ->  2  <_  N ) )
113108, 109, 112sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <_  N )
114 1re 9025 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
115 1lt2 10076 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
116114, 3, 115ltleii 9129 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
117113, 116jctil 524 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
118117adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
119 eluzelz 10430 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
120119adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
121 1z 10245 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
122 elfz 10983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
1237, 121, 122mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
124120, 123syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
125118, 124mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
126 fzsplit 11011 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
127125, 126syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
12821oveq1i 6032 . . . . . 6  |-  ( 3 ... N )  =  ( ( 2  +  1 ) ... N
)
129128uneq2i 3443 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... 2 )  u.  ( 3 ... N ) )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) )
130127, 129syl6eqr 2439 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
131 fzfid 11241 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
13274ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
133132, 82sylancom 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
134 eluz 10433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  3 ) )
1357, 2, 134mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  2  <_  3
)
1366, 135mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
137 uzss 10440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 ) )
138136, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 )
139138sseli 3289 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
14057, 58axlowdimlem5 25601 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
14154, 140syl5eqel 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
142139, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
143142ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
144 fveecn 25557 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
145143, 144sylancom 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
146133, 145subcld 9345 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
147146sqcld 11450 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  e.  CC )
148107, 130, 131, 147fsumsplit 12462 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
14998, 99sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
150149, 145subcld 9345 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
151150sqcld 11450 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( Q `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  e.  CC )
152107, 130, 131, 151fsumsplit 12462 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
153106, 148, 1523eqtr4d 2431 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
15474adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  P  e.  ( EE `  N
) )
155142adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
156 brcgr 25555 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( Q  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. P ,  A >.Cgr
<. Q ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
157154, 155, 98, 155, 156syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
158153, 157mpbird 224 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552    \ cdif 3262    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   {csn 3759   {cpr 3760   <.cop 3762   class class class wbr 4155    X. cxp 4818    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    <_ cle 9056    - cmin 9225   -ucneg 9226   NNcn 9934   2c2 9983   3c3 9984   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977   ^cexp 11311   sum_csu 12408   EEcee 25543  Cgrccgr 25545
This theorem is referenced by:  axlowdim  25616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409  df-ee 25546  df-cgr 25548
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