Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem4 Unicode version

Theorem axlowdimlem4 24573
Description: Lemma for axlowdim 24589. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1  |-  A  e.  RR
axlowdimlem4.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem4  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR

Proof of Theorem axlowdimlem4
StepHypRef Expression
1 1ne2 9931 . . . 4  |-  1  =/=  2
2 1ex 8833 . . . . 5  |-  1  e.  _V
3 2re 9815 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
43elexi 2797 . . . . 5  |-  2  e.  _V
5 axlowdimlem4.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
65elexi 2797 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
7 axlowdimlem4.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
87elexi 2797 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
92, 4, 6, 8fpr 5704 . . . 4  |-  ( 1  =/=  2  ->  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : { 1 ,  2 } --> { A ,  B } )
101, 9ax-mp 8 . . 3  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : { 1 ,  2 } --> { A ,  B }
11 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzpr 10840 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
14 df-2 9804 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1514oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
1614preq2i 3710 . . . . 5  |-  { 1 ,  2 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
1713, 15, 163eqtr4i 2313 . . . 4  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
1817feq2i 5384 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : { 1 ,  2 } --> { A ,  B } )
1910, 18mpbir 200 . 2  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> { A ,  B }
205, 7pm3.2i 441 . . 3  |-  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
216, 8prss 3769 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  <->  { A ,  B }  C_  RR )
2220, 21mpbi 199 . 2  |-  { A ,  B }  C_  RR
23 fss 5397 . 2  |-  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR )
2419, 22, 23mp2an 653 1  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   {cpr 3641   <.cop 3643   -->wf 5251  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740   2c2 9795   ZZcz 10024   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  24574  axlowdimlem6  24575  axlowdimlem17  24586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator