Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem5 Unicode version

Theorem axlowdimlem5 24646
Description: Lemma for axlowdim 24661. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1  |-  A  e.  RR
axlowdimlem4.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem5
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem4.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
2 axlowdimlem4.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
31, 2axlowdimlem4 24645 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
4 axlowdimlem1 24642 . . . . 5  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
53, 4pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
/\  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )
6 axlowdimlem2 24643 . . . 4  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
7 fun2 5422 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  /\  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )  /\  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )  ->  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR )
85, 6, 7mp2an 653 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR
9 axlowdimlem3 24644 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
109feq2d 5396 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR ) )
118, 10mpbiri 224 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
12 2nn 9893 . . . . 5  |-  2  e.  NN
13 uznnssnn 10282 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
1514sseli 3189 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
16 elee 24594 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N
) --> RR ) )
1811, 17mpbird 223 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   EEcee 24588
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  24647  axlowdimlem17  24658  axlowdim2  24660  axlowdim  24661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-ee 24591
  Copyright terms: Public domain W3C validator