Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem5 Unicode version

Theorem axlowdimlem5 25797
Description: Lemma for axlowdim 25812. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1  |-  A  e.  RR
axlowdimlem4.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem5
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem4.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
2 axlowdimlem4.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
31, 2axlowdimlem4 25796 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
4 axlowdimlem1 25793 . . . . 5  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
53, 4pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
/\  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )
6 axlowdimlem2 25794 . . . 4  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
7 fun2 5575 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  /\  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )  /\  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )  ->  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR )
85, 6, 7mp2an 654 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR
9 axlowdimlem3 25795 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
109feq2d 5548 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR ) )
118, 10mpbiri 225 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
12 2nn 10097 . . . . 5  |-  2  e.  NN
13 uznnssnn 10488 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
1514sseli 3312 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
16 elee 25745 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N
) --> RR ) )
1811, 17mpbird 224 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   {cpr 3783   <.cop 3785    X. cxp 4843   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955   NNcn 9964   2c2 10013   3c3 10014   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   EEcee 25739
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  25798  axlowdimlem17  25809  axlowdim2  25811  axlowdim  25812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-ee 25742
  Copyright terms: Public domain W3C validator