Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem5 Unicode version

Theorem axlowdimlem5 24574
Description: Lemma for axlowdim 24589. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1  |-  A  e.  RR
axlowdimlem4.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem5
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem4.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
2 axlowdimlem4.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
31, 2axlowdimlem4 24573 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
4 axlowdimlem1 24570 . . . . 5  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
53, 4pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
/\  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )
6 axlowdimlem2 24571 . . . 4  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
7 fun2 5406 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  /\  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )  /\  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )  ->  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR )
85, 6, 7mp2an 653 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR
9 axlowdimlem3 24572 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
109feq2d 5380 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR ) )
118, 10mpbiri 224 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
12 2nn 9877 . . . . 5  |-  2  e.  NN
13 uznnssnn 10266 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
1514sseli 3176 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
16 elee 24522 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N
) --> RR ) )
1811, 17mpbird 223 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   EEcee 24516
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  24575  axlowdimlem17  24586  axlowdim2  24588  axlowdim  24589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-ee 24519
  Copyright terms: Public domain W3C validator