Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem5 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem5 25890
Description: Lemma for axlowdim 25905. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1  |-  A  e.  RR
axlowdimlem4.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem5
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem4.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
2 axlowdimlem4.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
31, 2axlowdimlem4 25889 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
4 axlowdimlem1 25886 . . . . 5  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
53, 4pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
/\  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )
6 axlowdimlem2 25887 . . . 4  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
7 fun2 5611 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  /\  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )  /\  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )  ->  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR )
85, 6, 7mp2an 655 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR
9 axlowdimlem3 25888 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
109feq2d 5584 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR ) )
118, 10mpbiri 226 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
12 2nn 10138 . . . . 5  |-  2  e.  NN
13 uznnssnn 10529 . . . . 5  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
1514sseli 3346 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
16 elee 25838 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N
) --> RR ) )
1811, 17mpbird 225 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   <.cop 3819    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   EEcee 25832
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  25891  axlowdimlem17  25902  axlowdim2  25904  axlowdim  25905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-ee 25835
  Copyright terms: Public domain W3C validator