Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem6 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem6 25888
Description: Lemma for axlowdim 25902. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem6.1  |-  A  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
axlowdimlem6.2  |-  B  =  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
axlowdimlem6.3  |-  C  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. ) )

Proof of Theorem axlowdimlem6
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10313 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
3 eluzelz 10498 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
4 2nn 10135 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 uznnssnn 10526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
7 nnuz 10523 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
86, 7sseqtri 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
98sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10 eluzle 10500 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  N )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  N )
12 1re 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1312leidi 9563 . . . . . . 7  |-  1  <_  1
1411, 13jctil 525 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  N ) )
15 elfz4 11054 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  1  /\  1  <_  N ) )  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
162, 3, 2, 14, 15syl31anc 1188 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
17 eluzel2 10495 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
18 eluzle 10500 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
19 2re 10071 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
20 1lt2 10144 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
2112, 19, 20ltleii 9198 . . . . . . 7  |-  1  <_  2
2218, 21jctil 525 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
23 elfz4 11054 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
242, 3, 17, 22, 23syl31anc 1188 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
25 ax-1ne0 9061 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
26 1t1e1 10128 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
27 0cn 9086 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
2827mul01i 9258 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
2926, 28neeq12i 2615 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 )  <->  1  =/=  0 )
3025, 29mpbir 202 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 )
31 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
32 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
3312, 32axlowdimlem4 25886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
34 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
36 axlowdimlem1 25883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
37 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR  ->  ( (
3 ... N )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( 3 ... N ) )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } )  Fn  ( 3 ... N )
39 axlowdimlem2 25884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
40 2z 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
411, 40, 13pm3.2i 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
4213, 21pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 )
43 elfz4 11054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 ) )  ->  1  e.  ( 1 ... 2
) )
4441, 42, 43mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( 1 ... 2
)
4539, 44pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) )
46 fvun1 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
) )
4735, 38, 45, 46mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)
48 1ne2 10189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  2
49 1ex 9088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
5049, 49fvpr1 5937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  1 )
5148, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  1
5247, 51eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  1
5331, 52syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  1 )
54 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
5532, 32axlowdimlem4 25886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
56 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
58 fvun1 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
) )
5957, 38, 45, 58mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)
6032elexi 2967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
6149, 60fvpr1 5937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  0 )
6248, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  0
6359, 62eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  0
6454, 63syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  0 )
6553, 64oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  ( 1  -  0 ) )
66 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6766subid1i 9374 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6865, 67syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  1 )
6968oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) ) )
70 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
7132, 12axlowdimlem4 25886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
72 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
74 fvun1 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
) )
7573, 38, 45, 74mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)
7649, 60fvpr1 5937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  0 )
7748, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  0
7875, 77eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  0
7970, 78syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  0 )
8079, 64oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  ( 0  -  0 ) )
8127subid1i 9374 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
8280, 81syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  0 )
8382oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 ) )
8469, 83neeq12d 2618 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  ( 1  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 ) ) )
85 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
861, 40, 403pm3.2i 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
8719leidi 9563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <_  2
8821, 87pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 )
89 elfz4 11054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 ) )  ->  2  e.  ( 1 ... 2
) )
9086, 88, 89mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
9139, 90pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) )
92 fvun1 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
) )
9373, 38, 91, 92mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)
9440elexi 2967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  _V
9594, 49fvpr2 5938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1 )
9648, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1
9793, 96eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  1
9885, 97syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  1 )
99 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
100 fvun1 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
) )
10157, 38, 91, 100mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)
10294, 60fvpr2 5938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0 )
10348, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0
104101, 103eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  0
10599, 104syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  0 )
10698, 105oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  ( 1  -  0 ) )
107106, 67syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  1 )
108107oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  2  ->  (
1  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
109 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
110 fvun1 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
) )
11135, 38, 91, 110mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)
11294, 60fvpr2 5938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0 )
11348, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0
114111, 113eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  0
115109, 114syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  0 )
116115, 105oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  ( 0  -  0 ) )
117116, 81syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  0 )
118117oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 )  =  ( 0  x.  0 ) )
119108, 118neeq12d 2618 . . . . . . 7  |-  ( j  =  2  ->  (
( 1  x.  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 )  <->  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 ) ) )
12084, 119rspc2ev 3062 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  2  e.  ( 1 ... N )  /\  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 ) )  ->  E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
12130, 120mp3an3 1269 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  2  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
12216, 24, 121syl2anc 644 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. i  e.  ( 1 ... N
) E. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
123 df-ne 2603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
124123rexbii 2732 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... N
)  -.  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
125 rexnal 2718 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N )  -.  ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
126124, 125bitri 242 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
127126rexbii 2732 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  E. i  e.  ( 1 ... N
)  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
128 rexnal 2718 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N )  -. 
A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
129127, 128bitri 242 . . . 4  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
130122, 129sylib 190 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
13132, 32axlowdimlem5 25887 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
13212, 32axlowdimlem5 25887 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
13332, 12axlowdimlem5 25887 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
134 colinearalg 25851 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  /\  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  /\  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) ) )
135131, 132, 133, 134syl3anc 1185 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) ) )
136130, 135mtbird 294 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
137 axlowdimlem6.1 . . . 4  |-  A  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
138 axlowdimlem6.2 . . . . 5  |-  B  =  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
139 axlowdimlem6.3 . . . . 5  |-  C  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
140138, 139opeq12i 3991 . . . 4  |-  <. B ,  C >.  =  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
141137, 140breq12i 4223 . . 3  |-  ( A 
Btwn  <. B ,  C >.  <-> 
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
142139, 137opeq12i 3991 . . . 4  |-  <. C ,  A >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
143138, 142breq12i 4223 . . 3  |-  ( B 
Btwn  <. C ,  A >.  <-> 
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
144137, 138opeq12i 3991 . . . 4  |-  <. A ,  B >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
145139, 144breq12i 4223 . . 3  |-  ( C 
Btwn  <. A ,  B >.  <-> 
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
146141, 143, 1453orbi123i 1144 . 2  |-  ( ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. )  <->  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) )
147136, 146sylnibr 298 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   <.cop 3819   class class class wbr 4214    X. cxp 4878    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   2c2 10051   3c3 10052   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045   EEcee 25829    Btwn cbtwn 25830
This theorem is referenced by:  axlowdim2  25901  axlowdim  25902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-icc 10925  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-ee 25832  df-btwn 25833
  Copyright terms: Public domain W3C validator