Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem6 Unicode version

Theorem axlowdimlem6 24647
Description: Lemma for axlowdim 24661. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem6.1  |-  A  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
axlowdimlem6.2  |-  B  =  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
axlowdimlem6.3  |-  C  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. ) )

Proof of Theorem axlowdimlem6
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
21a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
3 eluzelz 10254 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
4 2nn 9893 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 uznnssnn 10282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
7 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
86, 7sseqtri 3223 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
98sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10 eluzle 10256 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  N )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  N )
12 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1312leidi 9323 . . . . . . 7  |-  1  <_  1
1411, 13jctil 523 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  N ) )
15 elfz4 10807 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  1  /\  1  <_  N ) )  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
162, 3, 2, 14, 15syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
17 eluzel2 10251 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
18 eluzle 10256 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
19 2re 9831 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
20 1lt2 9902 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
2112, 19, 20ltleii 8957 . . . . . . 7  |-  1  <_  2
2218, 21jctil 523 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
23 elfz4 10807 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
242, 3, 17, 22, 23syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
25 ax-1ne0 8822 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
26 1t1e1 9886 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
27 0cn 8847 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
2827mul01i 9018 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
2926, 28neeq12i 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 )  <->  1  =/=  0 )
3025, 29mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 )
31 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
32 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
3312, 32axlowdimlem4 24645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
34 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
36 axlowdimlem1 24642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
37 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR  ->  ( (
3 ... N )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( 3 ... N ) )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } )  Fn  ( 3 ... N )
39 axlowdimlem2 24643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
40 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
411, 40, 13pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
4213, 21pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 )
43 elfz4 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 ) )  ->  1  e.  ( 1 ... 2
) )
4441, 42, 43mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( 1 ... 2
)
4539, 44pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) )
46 fvun1 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
) )
4735, 38, 45, 46mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)
48 1ne2 9947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  2
49 1ex 8849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
5049, 49fvpr1 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  1 )
5148, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  1
5247, 51eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  1
5331, 52syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  1 )
54 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
5532, 32axlowdimlem4 24645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
56 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
58 fvun1 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
) )
5957, 38, 45, 58mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)
6032elexi 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
6149, 60fvpr1 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  0 )
6248, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  0
6359, 62eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  0
6454, 63syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  0 )
6553, 64oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  ( 1  -  0 ) )
66 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6766subid1i 9134 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6865, 67syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  1 )
6968oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) ) )
70 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
7132, 12axlowdimlem4 24645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
72 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
74 fvun1 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
) )
7573, 38, 45, 74mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)
7649, 60fvpr1 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  0 )
7748, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  0
7875, 77eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  0
7970, 78syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  0 )
8079, 64oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  ( 0  -  0 ) )
8127subid1i 9134 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
8280, 81syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  0 )
8382oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 ) )
8469, 83neeq12d 2474 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  ( 1  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 ) ) )
85 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
861, 40, 403pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
8719leidi 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <_  2
8821, 87pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 )
89 elfz4 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 ) )  ->  2  e.  ( 1 ... 2
) )
9086, 88, 89mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
9139, 90pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) )
92 fvun1 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
) )
9373, 38, 91, 92mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)
9440elexi 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  _V
9594, 49fvpr2 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1 )
9648, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1
9793, 96eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  1
9885, 97syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  1 )
99 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
100 fvun1 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
) )
10157, 38, 91, 100mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)
10294, 60fvpr2 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0 )
10348, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0
104101, 103eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  0
10599, 104syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  0 )
10698, 105oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  ( 1  -  0 ) )
107106, 67syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  1 )
108107oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  2  ->  (
1  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
109 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
110 fvun1 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
) )
11135, 38, 91, 110mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)
11294, 60fvpr2 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0 )
11348, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0
114111, 113eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  0
115109, 114syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  0 )
116115, 105oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  ( 0  -  0 ) )
117116, 81syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  0 )
118117oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 )  =  ( 0  x.  0 ) )
119108, 118neeq12d 2474 . . . . . . 7  |-  ( j  =  2  ->  (
( 1  x.  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 )  <->  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 ) ) )
12084, 119rspc2ev 2905 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  2  e.  ( 1 ... N )  /\  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 ) )  ->  E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
12130, 120mp3an3 1266 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  2  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
12216, 24, 121syl2anc 642 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. i  e.  ( 1 ... N
) E. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
123 df-ne 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
124123rexbii 2581 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... N
)  -.  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
125 rexnal 2567 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N )  -.  ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
126124, 125bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
127126rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  E. i  e.  ( 1 ... N
)  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
128 rexnal 2567 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N )  -. 
A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
129127, 128bitri 240 . . . 4  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
130122, 129sylib 188 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
13132, 32axlowdimlem5 24646 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
13212, 32axlowdimlem5 24646 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
13332, 12axlowdimlem5 24646 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
134 colinearalg 24610 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  /\  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  /\  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) ) )
135131, 132, 133, 134syl3anc 1182 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) ) )
136130, 135mtbird 292 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
137 axlowdimlem6.1 . . . 4  |-  A  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
138 axlowdimlem6.2 . . . . 5  |-  B  =  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
139 axlowdimlem6.3 . . . . 5  |-  C  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
140138, 139opeq12i 3817 . . . 4  |-  <. B ,  C >.  =  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
141137, 140breq12i 4048 . . 3  |-  ( A 
Btwn  <. B ,  C >.  <-> 
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
142139, 137opeq12i 3817 . . . 4  |-  <. C ,  A >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
143138, 142breq12i 4048 . . 3  |-  ( B 
Btwn  <. C ,  A >.  <-> 
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
144137, 138opeq12i 3817 . . . 4  |-  <. A ,  B >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
145139, 144breq12i 4048 . . 3  |-  ( C 
Btwn  <. A ,  B >.  <-> 
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
146141, 143, 1453orbi123i 1141 . 2  |-  ( ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. )  <->  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) )
147136, 146sylnibr 296 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   EEcee 24588    Btwn cbtwn 24589
This theorem is referenced by:  axlowdim2  24660  axlowdim  24661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-ee 24591  df-btwn 24592
  Copyright terms: Public domain W3C validator