Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem7 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem7 25889
Description: Lemma for axlowdim 25902. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u 1 >. }
3 3nn 10136 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
43elexi 2967 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  _V
5 negex 9306 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  _V
64, 5fsn 5908 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  <->  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u
1 >. } )
72, 6mpbir 202 . . . . . . 7  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> { -u 1 }
8 1re 9092 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
98renegcli 9364 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
10 snssi 3944 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  {
-u 1 }  C_  RR )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { -u
1 }  C_  RR
12 fss 5601 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  /\  { -u 1 }  C_  RR )  ->  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR )
137, 11, 12mp2an 655 . . . . . 6  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR
14 0re 9093 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1514fconst6 5635 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) --> RR
1613, 15pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )
17 disjdif 3702 . . . . 5  |-  ( { 3 }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  (/)
18 fun2 5610 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )  /\  ( { 3 }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR )
1916, 17, 18mp2an 655 . . . 4  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR
20 eluzle 10500 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
21 3re 10073 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
22 1lt3 10146 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
238, 21, 22ltleii 9198 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  3
2420, 23jctil 525 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) )
25 eluzelz 10498 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
263nnzi 10307 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
27 1z 10313 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
28 elfz 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2926, 27, 28mp3an12 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
3025, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
3124, 30mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 1 ... N
) )
3231snssd 3945 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  { 3 }  C_  ( 1 ... N ) )
33 undif 3710 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3432, 33sylib 190 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3534feq2d 5583 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR  <->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3619, 35mpbii 204 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
37 uznnssnn 10526 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
383, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
3938sseli 3346 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
40 elee 25835 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
4139, 40syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
4236, 41mpbird 225 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
431, 42syl5eqel 2522 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    <_ cle 9123   -ucneg 9294   NNcn 10002   3c3 10052   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045   EEcee 25829
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  25897  axlowdimlem16  25898  axlowdimlem17  25899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-ee 25832
  Copyright terms: Public domain W3C validator