Theorem axlttrn 5476

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 23 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axlttrn 5260 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axlttrn	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Proof of Theorem axlttrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axlttrn 5260	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))
2		ltxrltt 5472	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
3	2	3adant3 797	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
4		ltxrltt 5472	. . . 4 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
5	4	3adant1 795	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
6	3, 5	anbi12d 626	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) <-> (A <R B /\ B <R C)))
7		ltxrltt 5472	. . 3 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
8	7	3adant2 796	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
9	1, 6, 8	3imtr4d 541	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   e. wcel 955   class class class wbr 2609  RRcr 5205   <R cltrr 5210   < clt 5458

This theorem is referenced by:  lttrt 5480  ltso 5484  lelttrt 5496  ltletrt 5497  lttrd 5502  xrlttrt 5526  lttr 5559  mulgt1t 5801  recgt1it 5848  recrecltt 5850  nnge1t 5891  sup2 5998  lt0nnn0 6063  nn0ltp1let 6074  zltp1let 6128  recnzt 6138  gtndivt 6140  expordit 6531  expnbndt 6585  sqrlem6 6608  fsumsplit 6958  climmullem5 7060  caucvglem2 7094  caucvglem4 7096  georeclim 7175  geoisumr 7178  cvgratlem1ALT 7182  cvgratlem1 7185  ivthlem7 7222  ivthlem7OLD 7231  sin01gt0 7418  cos01gt0 7419  bcthlem1 7933  bcthlem21 7953  bcthlem25 7957  projlem26 9127  projlem28 9129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462

Copyright terms: Public domain