Theorem axmulcom 6870

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 9 of 23 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulcom 6893.

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))

Proof of Theorem axmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 6857	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`' _E )
2		mulcnsrec 6859	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`' _E x. [<.z, w>.]`' _E ) = [<.((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))), ((y .R z) +R (x .R w))>.]`' _E )
3		mulcnsrec 6859	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ([<.z, w>.]`' _E x. [<.x, y>.]`' _E ) = [<.((z .R x) +R (-1R .R (w .R y))), ((w .R x) +R (z .R y))>.]`' _E )
4		visset 2572	. . . 4 |- x e. _V
5		visset 2572	. . . 4 |- z e. _V
6	4, 5	mulcomsr 6793	. . 3 |- (x .R z) = (z .R x)
7		visset 2572	. . . . 5 |- y e. _V
8		visset 2572	. . . . 5 |- w e. _V
9	7, 8	mulcomsr 6793	. . . 4 |- (y .R w) = (w .R y)
10	9	opreq2i 5029	. . 3 |- (-1R .R (y .R w)) = (-1R .R (w .R y))
11	6, 10	opreq12i 5030	. 2 |- ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) = ((z .R x) +R (-1R .R (w .R y)))
12	7, 5	mulcomsr 6793	. . . 4 |- (y .R z) = (z .R y)
13	4, 8	mulcomsr 6793	. . . 4 |- (x .R w) = (w .R x)
14	12, 13	opreq12i 5030	. . 3 |- ((y .R z) +R (x .R w)) = ((z .R y) +R (w .R x))
15		oprex 5042	. . . 4 |- (z .R y) e. _V
16		oprex 5042	. . . 4 |- (w .R x) e. _V
17	15, 16	addcomsr 6791	. . 3 |- ((z .R y) +R (w .R x)) = ((w .R x) +R (z .R y))
18	14, 17	eqtri 2190	. 2 |- ((y .R z) +R (x .R w)) = ((w .R x) +R (z .R y))
19	1, 2, 3, 11, 18	ecoprcom 5582	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617   _E cep 3774  `'ccnv 4150  (class class class)co 5020  R.cnr 6588  -1Rcm1r 6591   +R cplr 6592   .R cmr 6593  CCcc 6827   x. cmul 6834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-inf2 6008

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-rdg 5344  df-1o 5384  df-oadd 5386  df-omul 5387  df-er 5519  df-ec 5521  df-qs 5524  df-ni 6595  df-pli 6596  df-mi 6597  df-lti 6598  df-plpq 6630  df-mpq 6631  df-enq 6632  df-nq 6633  df-plq 6634  df-mq 6635  df-rq 6636  df-ltq 6637  df-1q 6638  df-np 6681  df-plp 6683  df-mp 6684  df-ltp 6685  df-plpr 6759  df-mpr 6760  df-enr 6761  df-nr 6762  df-plr 6763  df-mr 6764  df-c 6835  df-mul 6841

Copyright terms: Public domain