Theorem axmulcom 5248

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 10 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))

Proof of Theorem axmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5234	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`'E)
2		mulcnsrec 5236	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'E x. [<.z, w>.]`'E) = [<.((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))), ((y .R z) +R (x .R w))>.]`'E)
3		mulcnsrec 5236	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ([<.z, w>.]`'E x. [<.x, y>.]`'E) = [<.((z .R x) +R (-1R .R (w .R y))), ((w .R x) +R (z .R y))>.]`'E)
4		visset 1804	. . . 4 |- x e. V
5		visset 1804	. . . 4 |- z e. V
6	4, 5	mulcomsr 5170	. . 3 |- (x .R z) = (z .R x)
7		visset 1804	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1804	. . . . 5 |- w e. V
9	7, 8	mulcomsr 5170	. . . 4 |- (y .R w) = (w .R y)
10	9	opreq2i 3957	. . 3 |- (-1R .R (y .R w)) = (-1R .R (w .R y))
11	6, 10	opreq12i 3958	. 2 |- ((x .R z) +R (-1R .R (y .R w))) = ((z .R x) +R (-1R .R (w .R y)))
12	7, 5	mulcomsr 5170	. . . 4 |- (y .R z) = (z .R y)
13	4, 8	mulcomsr 5170	. . . 4 |- (x .R w) = (w .R x)
14	12, 13	opreq12i 3958	. . 3 |- ((y .R z) +R (x .R w)) = ((z .R y) +R (w .R x))
15		oprex 3968	. . . 4 |- (z .R y) e. V
16		oprex 3968	. . . 4 |- (w .R x) e. V
17	15, 16	addcomsr 5168	. . 3 |- ((z .R y) +R (w .R x)) = ((w .R x) +R (z .R y))
18	14, 17	eqtr 1487	. 2 |- ((y .R z) +R (x .R w)) = ((w .R x) +R (z .R y))
19	1, 2, 3, 11, 18	ecoprcom 4303	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) = (B x. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Ecep 2819  `'ccnv 3159  (class class class)co 3948  R.cnr 4965  -1Rcm1r 4968   +R cplr 4969   .R cmr 4970  CCcc 5204   x. cmul 5211

This theorem is referenced by:  mulcomt 5278  adddirt 5291  mulcom 5295  mulid2t 5389  mul12t 5390  mul23t 5391  muladdt 5393  subdirt 5400  mul02t 5416  mulneg2t 5424  recextlem1 5655  mulcan 5659  mulcan2t 5662  divmul3t 5678  recid2t 5699  divrec2t 5703  div23t 5705  div13t 5706  div12t 5707  divcan4t 5719  rec11rt 5735  divmul13t 5738  divmul24t 5739  divdivdivt 5741  prodgt02t 5783  prodge02t 5785  ltmul2t 5787  lemul2t 5789  lemul2it 5795  lemul2itOLD 5796  ltmulgt12t 5803  ltmuldiv2t 5818  ltdivmul2t 5821  lt2mul2divt 5822  ledivmul2t 5823  lemuldiv2t 5825  times2t 5952  subsqt 6573  crutOLD 6669  replimtOLD 6693  imret 6710  imcjt 6754  abscjt 6769  sqabsaddt 6783  sqabssubt 6784  bccmplt 6900  fsummulc2 6972  caucvg3a 7100  caucvg3lem 7102  geolimilem 7170  cvgratlem1ALT 7182  cvgratlem1 7185  fsum0diag4 7196  efcltlem1 7246  efexpt 7314  efeult 7391  sin2tt 7404  demoivre 7426  ablmul 8068  nvscom 8190  nv1 8243  ipblnfi 8447  sinmpi 8613  cosmpi 8614  circgrpOLD 8658  efper 8669  hvmulcomt 8833  norm1t 9042  pjthlem7 9140  h1de2b 9392  h1de2bOLD 9393  homul12t 9648  kbmult 9795  riesz3 9910  riesz1t 9913  branmfnt 9951  kbass2t 9962  kbass4t 9964  strlem1 10087  msra3 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-c 5212  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain