MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulf Structured version   Unicode version

Theorem axmulf 9052
Description: Multiplication is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axmulcl 9059. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulf 9101. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulf  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem axmulf
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 3116 . . . . . . . . 9  |-  E* z 
z  =  <. (
( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >.
21mosubop 4484 . . . . . . . 8  |-  E* z E. u E. f ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )
32mosubop 4484 . . . . . . 7  |-  E* z E. w E. v ( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)
4 anass 632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
542exbii 1594 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  E. u E. f
( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
6 19.42vv 1933 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) )  <->  ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  E. u E. f ( y  = 
<. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
75, 6bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
872exbii 1594 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  E. w E. v
( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
98mobii 2323 . . . . . . 7  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )  <->  E* z E. w E. v ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
103, 9mpbir 202 . . . . . 6  |-  E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )
1110moani 2339 . . . . 5  |-  E* z
( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)
1211funoprab 6199 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
13 df-mul 9033 . . . . 5  |-  x.  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
1413funeqi 5503 . . . 4  |-  ( Fun 
x. 
<->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) } )
1512, 14mpbir 202 . . 3  |-  Fun  x.
1613dmeqi 5100 . . . . 5  |-  dom  x.  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) }
17 dmoprabss 6184 . . . . 5  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }  C_  ( CC  X.  CC )
1816, 17eqsstri 3364 . . . 4  |-  dom  x.  C_  ( CC  X.  CC )
19 0ncn 9039 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  CC
20 df-c 9027 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
21 oveq1 6117 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  =  ( x  x. 
<. v ,  u >. ) )
2221eleq1d 2508 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( ( <. z ,  w >.  x. 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  x. 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
23 oveq2 6118 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( x  x.  <. v ,  u >. )  =  ( x  x.  y ) )
2423eleq1d 2508 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( (
x  x.  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  x.  y )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
25 mulcnsr 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  =  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) ,  ( ( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )
>. )
26 mulclsr 8990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  .R  v
)  e.  R. )
27 m1r 8988 . . . . . . . . . . . 12  |-  -1R  e.  R.
28 mulclsr 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  .R  u
)  e.  R. )
29 mulclsr 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( w  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
3027, 28, 29sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
31 addclsr 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R. )
3226, 30, 31syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
3332an4s 801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
34 mulclsr 8990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( w  .R  v
)  e.  R. )
35 mulclsr 8990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( z  .R  u
)  e.  R. )
36 addclsr 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  .R  v
)  e.  R.  /\  ( z  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
3734, 35, 36syl2anr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3837an42s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
39 opelxpi 4939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )  e.  R. )  ->  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
4033, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
4125, 40eqeltrd 2516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) )
4220, 22, 24, 412optocl 4982 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ( R. 
X.  R. ) )
4342, 20syl6eleqr 2533 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
4419, 43oprssdm 6257 . . . 4  |-  ( CC 
X.  CC )  C_  dom  x.
4518, 44eqssi 3350 . . 3  |-  dom  x.  =  ( CC  X.  CC )
46 df-fn 5486 . . 3  |-  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( Fun  x.  /\  dom  x.  =  ( CC  X.  CC ) ) )
4715, 45, 46mpbir2an 888 . 2  |-  x.  Fn  ( CC  X.  CC )
4843rgen2a 2778 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  x.  y )  e.  CC
49 ffnov 6203 . 2  |-  (  x.  : ( CC  X.  CC ) --> CC  <->  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  x.  y )  e.  CC ) )
5047, 48, 49mpbir2an 888 1  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   E*wmo 2288   A.wral 2711   <.cop 3841    X. cxp 4905   dom cdm 4907   Fun wfun 5477    Fn wfn 5478   -->wf 5479  (class class class)co 6110   {coprab 6111   R.cnr 8773   -1Rcm1r 8776    +R cplr 8777    .R cmr 8778   CCcc 9019    x. cmul 9026
This theorem is referenced by:  axmulcl  9059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-ec 6936  df-qs 6940  df-ni 8780  df-pli 8781  df-mi 8782  df-lti 8783  df-plpq 8816  df-mpq 8817  df-ltpq 8818  df-enq 8819  df-nq 8820  df-erq 8821  df-plq 8822  df-mq 8823  df-1nq 8824  df-rq 8825  df-ltnq 8826  df-np 8889  df-1p 8890  df-plp 8891  df-mp 8892  df-ltp 8893  df-plpr 8963  df-mpr 8964  df-enr 8965  df-nr 8966  df-plr 8967  df-mr 8968  df-m1r 8972  df-c 9027  df-mul 9033
  Copyright terms: Public domain W3C validator