MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulf Unicode version

Theorem axmulf 8981
Description: Multiplication is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axmulcl 8988. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulf 9030. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulf  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem axmulf
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 3074 . . . . . . . . 9  |-  E* z 
z  =  <. (
( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >.
21mosubop 4419 . . . . . . . 8  |-  E* z E. u E. f ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )
32mosubop 4419 . . . . . . 7  |-  E* z E. w E. v ( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)
4 anass 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
542exbii 1590 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  E. u E. f
( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
6 19.42vv 1926 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) )  <->  ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  E. u E. f ( y  = 
<. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
75, 6bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
872exbii 1590 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  E. w E. v
( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
98mobii 2294 . . . . . . 7  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )  <->  E* z E. w E. v ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
103, 9mpbir 201 . . . . . 6  |-  E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )
1110moani 2310 . . . . 5  |-  E* z
( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)
1211funoprab 6133 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
13 df-mul 8962 . . . . 5  |-  x.  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
1413funeqi 5437 . . . 4  |-  ( Fun 
x. 
<->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) } )
1512, 14mpbir 201 . . 3  |-  Fun  x.
1613dmeqi 5034 . . . . 5  |-  dom  x.  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) }
17 dmoprabss 6118 . . . . 5  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }  C_  ( CC  X.  CC )
1816, 17eqsstri 3342 . . . 4  |-  dom  x.  C_  ( CC  X.  CC )
19 0ncn 8968 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  CC
20 df-c 8956 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
21 oveq1 6051 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  =  ( x  x. 
<. v ,  u >. ) )
2221eleq1d 2474 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( ( <. z ,  w >.  x. 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  x. 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
23 oveq2 6052 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( x  x.  <. v ,  u >. )  =  ( x  x.  y ) )
2423eleq1d 2474 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( (
x  x.  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  x.  y )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
25 mulcnsr 8971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  =  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) ,  ( ( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )
>. )
26 mulclsr 8919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  .R  v
)  e.  R. )
27 m1r 8917 . . . . . . . . . . . 12  |-  -1R  e.  R.
28 mulclsr 8919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  .R  u
)  e.  R. )
29 mulclsr 8919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( w  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
3027, 28, 29sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
31 addclsr 8918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R. )
3226, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
3332an4s 800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
34 mulclsr 8919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( w  .R  v
)  e.  R. )
35 mulclsr 8919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( z  .R  u
)  e.  R. )
36 addclsr 8918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  .R  v
)  e.  R.  /\  ( z  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
3734, 35, 36syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3837an42s 801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
39 opelxpi 4873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )  e.  R. )  ->  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
4033, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
4125, 40eqeltrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) )
4220, 22, 24, 412optocl 4916 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ( R. 
X.  R. ) )
4342, 20syl6eleqr 2499 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
4419, 43oprssdm 6191 . . . 4  |-  ( CC 
X.  CC )  C_  dom  x.
4518, 44eqssi 3328 . . 3  |-  dom  x.  =  ( CC  X.  CC )
46 df-fn 5420 . . 3  |-  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( Fun  x.  /\  dom  x.  =  ( CC  X.  CC ) ) )
4715, 45, 46mpbir2an 887 . 2  |-  x.  Fn  ( CC  X.  CC )
4843rgen2a 2736 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  x.  y )  e.  CC
49 ffnov 6137 . 2  |-  (  x.  : ( CC  X.  CC ) --> CC  <->  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  x.  y )  e.  CC ) )
5047, 48, 49mpbir2an 887 1  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2259   A.wral 2670   <.cop 3781    X. cxp 4839   dom cdm 4841   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   -->wf 5413  (class class class)co 6044   {coprab 6045   R.cnr 8702   -1Rcm1r 8705    +R cplr 8706    .R cmr 8707   CCcc 8948    x. cmul 8955
This theorem is referenced by:  axmulcl  8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-ec 6870  df-qs 6874  df-ni 8709  df-pli 8710  df-mi 8711  df-lti 8712  df-plpq 8745  df-mpq 8746  df-ltpq 8747  df-enq 8748  df-nq 8749  df-erq 8750  df-plq 8751  df-mq 8752  df-1nq 8753  df-rq 8754  df-ltnq 8755  df-np 8818  df-1p 8819  df-plp 8820  df-mp 8821  df-ltp 8822  df-plpr 8892  df-mpr 8893  df-enr 8894  df-nr 8895  df-plr 8896  df-mr 8897  df-m1r 8901  df-c 8956  df-mul 8962
  Copyright terms: Public domain W3C validator