Theorem axmulgt0 6967

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 25 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 6906 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axmulgt0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A x. B)))

Proof of Theorem axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-mulgt0 6906	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))
2		0re 6942	. . . 4 |- 0 e. RR
3		ltxrlt 6961	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A <-> 0 <R A))
4	2, 3	mpan 773	. . 3 |- (A e. RR -> (0 < A <-> 0 <R A))
5		ltxrlt 6961	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ B e. RR) -> (0 < B <-> 0 <R B))
6	2, 5	mpan 773	. . 3 |- (B e. RR -> (0 < B <-> 0 <R B))
7	4, 6	bi2anan9 996	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) <-> (0 <R A /\ 0 <R B)))
8		remulcl 6913	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
9		ltxrlt 6961	. . 3 |- ((0 e. RR /\ (A x. B) e. RR) -> (0 < (A x. B) <-> 0 <R (A x. B)))
10	2, 8, 9	sylancr 758	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (0 < (A x. B) <-> 0 <R (A x. B)))
11	1, 7, 10	3imtr4d 331	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A x. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 231   /\ wa 433   e. wcel 1617   class class class wbr 3539  (class class class)co 5020  RRcr 6828  0cc0 6829   <R cltrr 6833   x. cmul 6834   < clt 6947

This theorem is referenced by:  mulgt0 6970  mulgt0i 7052  rpmulcl 7694  expgt0 8331  sin02gt0 9260  znnen 9286  sinq12gt0t 11084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-cnex 6885  ax-resscn 6886  ax-1cn 6887  ax-icn 6888  ax-addcl 6889  ax-addrcl 6890  ax-mulcl 6891  ax-mulrcl 6892  ax-i2m1 6897  ax-1ne0 6898  ax-rnegex 6900  ax-rrecex 6901  ax-cnre 6902  ax-pre-mulgt0 6906

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-nel 2298  df-ral 2389  df-rex 2390  df-rab 2392  df-v 2571  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-nul 3115  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-op 3278  df-uni 3399  df-br 3540  df-opab 3598  df-id 3779  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-opr 5022  df-er 5519  df-en 5631  df-dom 5632  df-sdom 5633  df-pnf 6948  df-mnf 6949  df-xr 6950  df-ltxr 6951

Copyright terms: Public domain