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Theorem axnulALT 4147
Description: Prove axnul 4148 directly from ax-rep 4131 using none of the equality axioms ax-8 1643 through ax-15 2082 provided we accept sp 1716 as an axiom. Replace sp 1716 with the obsolete ax-4 2074 to see this in 'show traceback'. (Contributed by Jeff Hoffman, 3-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axnulALT  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem axnulALT
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-rep 4131 . . 3  |-  ( A. w E. x A. y
( A. x  F.  ->  y  =  x )  ->  E. x A. y
( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x  F.  ) ) )
2 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x )  ->  -.  A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x ) )
32con2i 112 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x )  ->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x ) )
4 df-ex 1529 . . . . 5  |-  ( E. x A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x ) )
53, 4sylibr 203 . . . 4  |-  ( A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x )  ->  E. x A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x ) )
6 fal 1313 . . . . . 6  |-  -.  F.
7 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. x  F.  ->  F.  )
86, 7mto 167 . . . . 5  |-  -.  A. x  F.
98pm2.21i 123 . . . 4  |-  ( A. x  F.  ->  y  =  x )
105, 9mpg 1535 . . 3  |-  E. x A. y ( A. x  F.  ->  y  =  x )
111, 10mpg 1535 . 2  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x  F.  ) )
128intnan 880 . . . . . 6  |-  -.  (
w  e.  z  /\  A. x  F.  )
1312nex 1542 . . . . 5  |-  -.  E. w ( w  e.  z  /\  A. x  F.  )
1413nbn 336 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x  F.  ) ) )
1514albii 1553 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x  F.  ) ) )
1615exbii 1569 . 2  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x  F.  ) ) )
1711, 16mpbir 200 1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    F. wfal 1308   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-11 1715  ax-rep 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529
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