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Theorem axpownd 8223
Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axpownd  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )

Proof of Theorem axpownd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem4 8222 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2 axpowndlem1 8219 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
32aecoms 1887 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
42a1d 22 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
5 nfnae 1896 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
6 nfa1 1756 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  y  =  z
75, 6nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z )
8 el 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. w  x  e.  w
9 nfcvf2 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
10 nfcvd 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y w )
119, 10nfeld 2434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  x  e.  w )
12 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
1312a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  ( x  e.  w  <->  x  e.  y ) ) )
145, 11, 13cbvexd 1949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( E. w  x  e.  w  <->  E. y  x  e.  y ) )
158, 14mpbii 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. y  x  e.  y )
16 19.8a 1718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  x  e.  y  ->  E. x E. y  x  e.  y )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x E. y  x  e.  y )
18 df-ex 1529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x E. y  x  e.  y  <->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
2019adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
21 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  e.  y  <->  -.  x  e.  y ) )
2221dral1 1905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  -.  x  e.  y  <->  A. z  -.  x  e.  y
) )
23 alnex 1530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  -.  x  e.  y  <->  -.  E. y  x  e.  y )
24 alnex 1530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  -.  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
2522, 23, 243bitr3g 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. y  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
)
26 nd2 8210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. y  x  e.  z )
27 mtt 329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  x  e.  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  <-> 
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
2925, 28bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. y  x  e.  y  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
3029dral2 1906 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  -.  E. y  x  e.  y  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( A. x  -.  E. y  x  e.  y  <->  A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
3220, 31mtbid 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  -.  A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
)
3332pm2.21d 98 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
347, 33alrimi 1745 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
35 19.8a 1718 . . . . . 6  |-  ( A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
3634, 35syl 15 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
3736a1d 22 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3837ex 423 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
394, 38pm2.61i 156 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
401, 3, 39pm2.61ii 157 1  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684
This theorem is referenced by:  zfcndpow  8238  axpowprim  24050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647
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