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Theorem axpownd 8476
Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axpownd  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )

Proof of Theorem axpownd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem4 8475 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2 axpowndlem1 8472 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
32aecoms 2036 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
42a1d 23 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
5 nfnae 2044 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
6 nfae 2042 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  y  =  z
75, 6nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z )
8 el 4381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. w  x  e.  w
9 nfcvf2 2595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
10 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y w )
119, 10nfeld 2587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  x  e.  w )
12 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  ( x  e.  w  <->  x  e.  y ) ) )
145, 11, 13cbvexd 1988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( E. w  x  e.  w  <->  E. y  x  e.  y ) )
158, 14mpbii 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. y  x  e.  y )
16 19.8a 1762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  x  e.  y  ->  E. x E. y  x  e.  y )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x E. y  x  e.  y )
18 df-ex 1551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x E. y  x  e.  y  <->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
21 biidd 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  e.  y  <->  -.  x  e.  y ) )
2221dral1 2057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  -.  x  e.  y  <->  A. z  -.  x  e.  y
) )
23 alnex 1552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  -.  x  e.  y  <->  -.  E. y  x  e.  y )
24 alnex 1552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  -.  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
2522, 23, 243bitr3g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. y  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
)
26 nd2 8463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. y  x  e.  z )
27 mtt 330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  x  e.  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  <-> 
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
2925, 28bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. y  x  e.  y  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
3029dral2 2055 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  -.  E. y  x  e.  y  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( A. x  -.  E. y  x  e.  y  <->  A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
3220, 31mtbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  -.  A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
)
3332pm2.21d 100 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
347, 33alrimi 1781 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
35 19.8a 1762 . . . . . 6  |-  ( A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
3634, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
3736a1d 23 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3837ex 424 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
394, 38pm2.61i 158 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
401, 3, 39pm2.61ii 159 1  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550
This theorem is referenced by:  zfcndpow  8491  axpowprim  25153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-reg 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821
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