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Theorem axpowndlem2 8475
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4380 . . . . . 6  |-  E. w A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )
2 19.8a 1763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  y  ->  E. z  w  e.  y )
3 sp 1764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  w  e.  z  ->  w  e.  z )
42, 3imim12i 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
54alimi 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
65imim1i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
76alimi 1569 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  A. y
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
87eximi 1586 . . . . . 6  |-  ( E. w A. y ( A. w ( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
91, 8mp1i 12 . . . . 5  |-  ( -.  w  =  y  ->  E. w A. y ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
109ax-gen 1556 . . . 4  |-  A. w
( -.  w  =  y  ->  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
11 nfnae 2045 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
12 nfnae 2045 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
1311, 12nfan 1847 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
14 nfcvd 2575 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
15 nfcvf 2596 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
1615adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
1714, 16nfeqd 2588 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  =  y )
1817nfnd 1810 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  -.  w  =  y
)
19 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
20 nfnae 2045 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
21 nfnae 2045 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
2220, 21nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
23 nfnae 2045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
24 nfnae 2045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
2523, 24nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
2614, 16nfeld 2589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
2725, 26nfexd 1874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. z  w  e.  y )
28 nfcvf 2596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
3014, 29nfeld 2589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  z )
3122, 30nfald 1872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y  w  e.  z )
3227, 31nfimd 1828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )
)
3319, 32nfald 1872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z ) )
3416, 14nfeld 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  e.  w )
3533, 34nfimd 1828 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
3622, 35nfald 1872 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
3719, 36nfexd 1874 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. w A. y ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
3818, 37nfimd 1828 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( -.  w  =  y  ->  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) ) )
39 equequ1 1697 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w  =  y  <->  x  =  y ) )
4039notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( -.  w  =  y  <->  -.  x  =  y ) )
4140adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( -.  w  =  y  <->  -.  x  =  y ) )
42 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y w )
43 nfcvf2 2597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y x )
4542, 44nfeqd 2588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ y  w  =  x )
4622, 45nfan1 1846 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
47 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z w )
48 nfcvf2 2597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
4948adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z x )
5047, 49nfeqd 2588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ z  w  =  x )
5125, 50nfan1 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
52 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
5451, 53exbid 1790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. z  w  e.  y 
<->  E. z  x  e.  y ) )
55 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
5655adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
5746, 56albid 1789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y  w  e.  z 
<-> 
A. y  x  e.  z ) )
5854, 57imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
5958ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) ) )
6013, 32, 59cbvald 1987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
6160adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
62 elequ2 1731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
6461, 63imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <-> 
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
6546, 64albid 1789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
6665ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
6713, 36, 66cbvexd 1989 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w A. y ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
6867adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. w A. y ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
6941, 68imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( -.  w  =  y  ->  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
7069ex 425 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( -.  w  =  y  ->  E. w A. y
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) ) )
7113, 38, 70cbvald 1987 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( -.  w  =  y  ->  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )  <->  A. x ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
7210, 71mpbii 204 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  A. x
( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
737219.21bi 1775 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
7473ex 425 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551   F/_wnfc 2561
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  8476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-pow 4379
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563
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