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Theorem axpowndlem3 8438
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem3  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem2 8437 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2 axpowndlem1 8436 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3 p0ex 4354 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  _V
4 eleq2 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  {
(/) } ) )
54imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <-> 
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
65albidv 1632 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <->  A. w
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
73, 6spcev 3011 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/)
} )  ->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
8 0ex 4307 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
98snid 3809 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
}
10 eleq1 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  { (/) }  <->  (/)  e.  { (/)
} ) )
119, 10mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  w  e. 
{ (/) } )
127, 11mpg 1554 . . . . . . 7  |-  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
)
13 neq0 3606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  w  =  (/)  <->  E. x  x  e.  w )
1413con1bii 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. x  x  e.  w  <->  w  =  (/) )
1514imbi1i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( w  =  (/)  ->  w  e.  x ) )
1615albii 1572 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1716exbii 1589 . . . . . . 7  |-  ( E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1812, 17mpbir 201 . . . . . 6  |-  E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )
19 nfnae 2010 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
20 nfnae 2010 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
21 nfcvf2 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
22 nfcvd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y w )
2321, 22nfeld 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  x  e.  w )
2419, 23nfexd 1869 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y E. x  x  e.  w )
2524nfnd 1805 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  -.  E. x  x  e.  w )
2622, 21nfeld 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  w  e.  x )
2725, 26nfimd 1823 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y
( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x ) )
28 dveeq2 2024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  A. x  w  =  y )
)
2928imdistani 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  w  =  y ) )
30 nfa1 1802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. x  w  =  y
31 elequ2 1726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3231sps 1766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  w  =  y  ->  ( x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3330, 32exbid 1785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  w  =  y  ->  ( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y )
)
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  w  =  y
)  ->  ( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y )
)
3635notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( -.  E. x  x  e.  w  <->  -.  E. x  x  e.  y )
)
37 elequ1 1724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3837adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3936, 38imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <-> 
( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4039ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x
) ) ) )
4120, 27, 40cbvald 2063 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4219, 41exbid 1785 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( E. x A. w ( -. 
E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4318, 42mpbii 203 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) )
44 nfae 2008 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  z
45 nfae 2008 . . . . . . 7  |-  F/ y A. x  x  =  z
46 ax10o 2004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z  -.  x  e.  y  ->  A. x  -.  x  e.  y ) )
4746aecoms 2002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z  -.  x  e.  y  ->  A. x  -.  x  e.  y ) )
48 alnex 1549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  -.  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
49 alnex 1549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  -.  x  e.  y  <->  -.  E. x  x  e.  y )
5047, 48, 493imtr3g 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  ->  -. 
E. x  x  e.  y ) )
51 nd3 8428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. y  x  e.  z )
5251pm2.21d 100 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y  x  e.  z  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
5350, 52jad 156 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y )
)
5453spsd 1767 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
5554imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5645, 55alimd 1776 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5744, 56eximd 1782 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5843, 57syl5 30 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5958a1dd 44 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
6059, 2pm2.61d2 154 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
611, 2, 60pm2.61ii 159 1  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3596   {csn 3782
This theorem is referenced by:  axpowndlem4  8439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-reg 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789
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