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Theorem axpowprim 24050
Description: ax-pow 4188 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axpowprim  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )

Proof of Theorem axpowprim
StepHypRef Expression
1 axpownd 8223 . . 3  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
2 df-ex 1529 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  x  e.  y  <->  -.  A. z  -.  x  e.  y )
32imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) )
43albii 1553 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
)
54imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
65albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
76exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  E. x A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
8 df-ex 1529 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
97, 8bitri 240 . . 3  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
101, 9sylib 188 . 2  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
1110con4i 122 1  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647
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