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Theorem axpowprim 24454
Description: ax-pow 4269 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axpowprim  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )

Proof of Theorem axpowprim
StepHypRef Expression
1 axpownd 8313 . . 3  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
2 df-ex 1542 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  x  e.  y  <->  -.  A. z  -.  x  e.  y )
32imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) )
43albii 1566 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
)
54imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
65albii 1566 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
76exbii 1582 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  E. x A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
8 df-ex 1542 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
97, 8bitri 240 . . 3  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
101, 9sylib 188 . 2  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
1110con4i 122 1  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1540   E.wex 1541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-reg 7396
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723
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