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Theorem axpowprim 25158
Description: ax-pow 4380 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axpowprim  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )

Proof of Theorem axpowprim
StepHypRef Expression
1 axpownd 8481 . . 3  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
2 df-ex 1552 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  x  e.  y  <->  -.  A. z  -.  x  e.  y )
32imbi1i 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) )
43albii 1576 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
)
54imbi1i 317 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
65albii 1576 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
76exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  E. x A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
8 df-ex 1552 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
97, 8bitri 242 . . 3  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
101, 9sylib 190 . 2  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
1110con4i 125 1  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1550   E.wex 1551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-reg 7563
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823
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