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Theorem axpowprim 25114
Description: ax-pow 4345 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axpowprim  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )

Proof of Theorem axpowprim
StepHypRef Expression
1 axpownd 8440 . . 3  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
2 df-ex 1548 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  x  e.  y  <->  -.  A. z  -.  x  e.  y )
32imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) )
43albii 1572 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  <->  A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
)
54imbi1i 316 . . . . . 6  |-  ( ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
65albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
76exbii 1589 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  E. x A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
8 df-ex 1548 . . . 4  |-  ( E. x A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
97, 8bitri 241 . . 3  |-  ( E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x ( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
101, 9sylib 189 . 2  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x
( -.  A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
1110con4i 124 1  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x ( -. 
A. z  -.  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1546   E.wex 1547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-reg 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789
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