MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-ltadd Unicode version

Theorem axpre-ltadd 8977
Description: Ordering property of addition on reals. Axiom 20 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axltadd 9084. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 9001. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltadd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B
) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 8941 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 8941 . . 3  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 8941 . . 3  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 4158 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
5 oveq2 6030 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  =  ( <. z ,  0R >.  +  A
) )
65breq1d 4165 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6bibi12d 313 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 4159 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 oveq2 6030 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  ( <. z ,  0R >.  +  B
) )
109breq2d 4167 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  +  B ) ) )
118, 10bibi12d 313 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR  B  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  +  B ) ) ) )
12 oveq1 6029 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  =  ( C  +  A ) )
13 oveq1 6029 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  +  B
)  =  ( C  +  B ) )
1412, 13breq12d 4168 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  +  B )  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) )
1514bibi2d 310 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  B
) )  <->  ( A  <RR  B  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) ) )
16 ltasr 8910 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  R.  ->  (
x  <R  y  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
1716adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( x  <R  y  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
18 ltresr 8950 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y ) )
20 addresr 8948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  =  <. (
z  +R  x ) ,  0R >. )
21 addresr 8948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  <. (
z  +R  y ) ,  0R >. )
2220, 21breqan12d 4170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  <. ( z  +R  x ) ,  0R >. 
<RR  <. ( z  +R  y ) ,  0R >. ) )
2322anandis 804 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  <. ( z  +R  x ) ,  0R >. 
<RR  <. ( z  +R  y ) ,  0R >. ) )
24 ltresr 8950 . . . . . . 7  |-  ( <.
( z  +R  x
) ,  0R >.  <RR  <. ( z  +R  y
) ,  0R >.  <->  (
z  +R  x ) 
<R  ( z  +R  y
) )
2523, 24syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
2617, 19, 253bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) ) )
2726ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) ) )
28273impa 1148 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) ) )
291, 2, 3, 7, 11, 15, 283gencl 2931 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) )
3029biimpd 199 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3762   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   R.cnr 8677   0Rc0r 8678    +R cplr 8681    <R cltr 8683   RRcr 8924    + caddc 8928    <RR cltrr 8929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-ec 6845  df-qs 6849  df-ni 8684  df-pli 8685  df-mi 8686  df-lti 8687  df-plpq 8720  df-mpq 8721  df-ltpq 8722  df-enq 8723  df-nq 8724  df-erq 8725  df-plq 8726  df-mq 8727  df-1nq 8728  df-rq 8729  df-ltnq 8730  df-np 8793  df-1p 8794  df-plp 8795  df-ltp 8797  df-plpr 8867  df-enr 8869  df-nr 8870  df-plr 8871  df-ltr 8873  df-0r 8874  df-c 8931  df-r 8935  df-add 8936  df-lt 8938
  Copyright terms: Public domain W3C validator