Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-ltadd Structured version   Unicode version

 Description: Ordering property of addition on reals. Axiom 20 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axltadd 9139. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 9056. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 8996 . . 3
2 elreal 8996 . . 3
3 elreal 8996 . . 3
4 breq1 4207 . . . 4
5 oveq2 6081 . . . . 5
65breq1d 4214 . . . 4
74, 6bibi12d 313 . . 3
8 breq2 4208 . . . 4
9 oveq2 6081 . . . . 5
109breq2d 4216 . . . 4
118, 10bibi12d 313 . . 3
12 oveq1 6080 . . . . 5
13 oveq1 6080 . . . . 5
1412, 13breq12d 4217 . . . 4
1514bibi2d 310 . . 3
16 ltasr 8965 . . . . . . 7
1716adantr 452 . . . . . 6
18 ltresr 9005 . . . . . . 7
1918a1i 11 . . . . . 6
20 addresr 9003 . . . . . . . . 9
21 addresr 9003 . . . . . . . . 9
2220, 21breqan12d 4219 . . . . . . . 8
2322anandis 804 . . . . . . 7
24 ltresr 9005 . . . . . . 7
2523, 24syl6bb 253 . . . . . 6
2617, 19, 253bitr4d 277 . . . . 5
2726ancoms 440 . . . 4
28273impa 1148 . . 3
291, 2, 3, 7, 11, 15, 283gencl 2978 . 2
3029biimpd 199 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073  cnr 8732  c0r 8733   cplr 8736   cltr 8738  cr 8979   caddc 8983   cltrr 8984 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-ni 8739  df-pli 8740  df-mi 8741  df-lti 8742  df-plpq 8775  df-mpq 8776  df-ltpq 8777  df-enq 8778  df-nq 8779  df-erq 8780  df-plq 8781  df-mq 8782  df-1nq 8783  df-rq 8784  df-ltnq 8785  df-np 8848  df-1p 8849  df-plp 8850  df-ltp 8852  df-plpr 8922  df-enr 8924  df-nr 8925  df-plr 8926  df-ltr 8928  df-0r 8929  df-c 8986  df-r 8990  df-add 8991  df-lt 8993
 Copyright terms: Public domain W3C validator