MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 9043
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 9150. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 9067. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9006 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9006 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq2 4216 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
43anbi1d 686 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  <->  ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. ) ) )
5 oveq1 6088 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )
65breq2d 4224 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6imbi12d 312 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 4216 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  B ) )
98anbi2d 685 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B ) ) )
10 oveq2 6089 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  B ) )
1110breq2d 4224 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0 
<RR  ( A  x.  B
) ) )
129, 11imbi12d 312 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B
) ) ) )
13 df-0 8997 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1413breq1i 4219 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )
15 ltresr 9015 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  0R  <R  x )
1614, 15bitri 241 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <-> 
0R  <R  x )
1713breq1i 4219 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
18 ltresr 9015 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1917, 18bitri 241 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
20 mulgt0sr 8980 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  x  /\  0R  <R  y )  ->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2116, 19, 20syl2anb 466 . . 3  |-  ( ( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0R  <R  ( x  .R  y
) )
2213a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  0  =  <. 0R ,  0R >. )
23 mulresr 9014 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  y ) ,  0R >. )
2422, 23breq12d 4225 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ( x  .R  y
) ,  0R >. ) )
25 ltresr 9015 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. (
x  .R  y ) ,  0R >.  <->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2624, 25syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <-> 
0R  <R  ( x  .R  y ) ) )
2721, 26syl5ibr 213 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) ) )
281, 2, 7, 12, 272gencl 2985 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3817   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   R.cnr 8742   0Rc0r 8743    .R cmr 8747    <R cltr 8748   RRcr 8989   0cc0 8990    <RR cltrr 8994    x. cmul 8995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-1p 8859  df-plp 8860  df-mp 8861  df-ltp 8862  df-plpr 8932  df-mpr 8933  df-enr 8934  df-nr 8935  df-plr 8936  df-mr 8937  df-ltr 8938  df-0r 8939  df-m1r 8941  df-c 8996  df-0 8997  df-r 9000  df-mul 9002  df-lt 9003
  Copyright terms: Public domain W3C validator