MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 8806
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 8913. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 8830. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 8769 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 8769 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq2 4043 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
43anbi1d 685 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  <->  ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. ) ) )
5 oveq1 5881 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )
65breq2d 4051 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6imbi12d 311 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 4043 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  B ) )
98anbi2d 684 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B ) ) )
10 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  B ) )
1110breq2d 4051 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0 
<RR  ( A  x.  B
) ) )
129, 11imbi12d 311 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B
) ) ) )
13 df-0 8760 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1413breq1i 4046 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )
15 ltresr 8778 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  0R  <R  x )
1614, 15bitri 240 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <-> 
0R  <R  x )
1713breq1i 4046 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
18 ltresr 8778 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1917, 18bitri 240 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
20 mulgt0sr 8743 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  x  /\  0R  <R  y )  ->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2116, 19, 20syl2anb 465 . . 3  |-  ( ( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0R  <R  ( x  .R  y
) )
2213a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  0  =  <. 0R ,  0R >. )
23 mulresr 8777 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  y ) ,  0R >. )
2422, 23breq12d 4052 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ( x  .R  y
) ,  0R >. ) )
25 ltresr 8778 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. (
x  .R  y ) ,  0R >.  <->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2624, 25syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <-> 
0R  <R  ( x  .R  y ) ) )
2721, 26syl5ibr 212 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) ) )
281, 2, 7, 12, 272gencl 2830 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   R.cnr 8505   0Rc0r 8506    .R cmr 8510    <R cltr 8511   RRcr 8752   0cc0 8753    <RR cltrr 8757    x. cmul 8758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-1p 8622  df-plp 8623  df-mp 8624  df-ltp 8625  df-plpr 8695  df-mpr 8696  df-enr 8697  df-nr 8698  df-plr 8699  df-mr 8700  df-ltr 8701  df-0r 8702  df-m1r 8704  df-c 8759  df-0 8760  df-r 8763  df-mul 8765  df-lt 8766
  Copyright terms: Public domain W3C validator