Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 9043
 Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 9150. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 9067. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9006 . 2
2 elreal 9006 . 2
3 breq2 4216 . . . 4
43anbi1d 686 . . 3
5 oveq1 6088 . . . 4
65breq2d 4224 . . 3
74, 6imbi12d 312 . 2
8 breq2 4216 . . . 4
98anbi2d 685 . . 3
10 oveq2 6089 . . . 4
1110breq2d 4224 . . 3
129, 11imbi12d 312 . 2
13 df-0 8997 . . . . . 6
1413breq1i 4219 . . . . 5
15 ltresr 9015 . . . . 5
1614, 15bitri 241 . . . 4
1713breq1i 4219 . . . . 5
18 ltresr 9015 . . . . 5
1917, 18bitri 241 . . . 4
20 mulgt0sr 8980 . . . 4
2116, 19, 20syl2anb 466 . . 3
2213a1i 11 . . . . 5
23 mulresr 9014 . . . . 5
2422, 23breq12d 4225 . . . 4
25 ltresr 9015 . . . 4
2624, 25syl6bb 253 . . 3
2721, 26syl5ibr 213 . 2
281, 2, 7, 12, 272gencl 2985 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3817   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081  cnr 8742  c0r 8743   cmr 8747   cltr 8748  cr 8989  cc0 8990   cltrr 8994   cmul 8995 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-1p 8859  df-plp 8860  df-mp 8861  df-ltp 8862  df-plpr 8932  df-mpr 8933  df-enr 8934  df-nr 8935  df-plr 8936  df-mr 8937  df-ltr 8938  df-0r 8939  df-m1r 8941  df-c 8996  df-0 8997  df-r 9000  df-mul 9002  df-lt 9003
 Copyright terms: Public domain W3C validator