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Theorem axpre-sup 8807
 Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version with ordering on extended reals is axsup 8914. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-sup 8831. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-sup
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem axpre-sup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal2 8770 . . . . . . 7
21simplbi 446 . . . . . 6
32adantl 452 . . . . 5
4 fo1st 6155 . . . . . . . . . . . 12
5 fof 5467 . . . . . . . . . . . 12
6 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12
74, 5, 6mp2b 9 . . . . . . . . . . 11
8 ssv 3211 . . . . . . . . . . 11
9 fvelimab 5594 . . . . . . . . . . 11
107, 8, 9mp2an 653 . . . . . . . . . 10
11 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . 12
12 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 ltresr2 8779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1513, 14sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1615biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1716exp31 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1812, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918imp4b 573 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019ancomsd 440 . . . . . . . . . . . . . 14
2120an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13
2221rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . 12
2311, 22syl5 28 . . . . . . . . . . 11
2423exp3a 425 . . . . . . . . . 10
2510, 24syl7bi 221 . . . . . . . . 9
2625impr 602 . . . . . . . 8
2726adantlr 695 . . . . . . 7
2827ralrimiv 2638 . . . . . 6
2928expr 598 . . . . 5
30 breq2 4043 . . . . . . 7
3130ralbidv 2576 . . . . . 6
3231rspcev 2897 . . . . 5
333, 29, 32ee12an 1353 . . . 4
3433rexlimdva 2680 . . 3
35 n0 3477 . . . . . 6
36 fnfvima 5772 . . . . . . . . 9
377, 8, 36mp3an12 1267 . . . . . . . 8
38 ne0i 3474 . . . . . . . 8
3937, 38syl 15 . . . . . . 7
4039exlimiv 1624 . . . . . 6
4135, 40sylbi 187 . . . . 5
42 supsr 8750 . . . . . 6
4342ex 423 . . . . 5
4441, 43syl 15 . . . 4
46 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12
4746notbid 285 . . . . . . . . . . 11
4847rspccv 2894 . . . . . . . . . 10
4937, 48syl5com 26 . . . . . . . . 9
5049adantl 452 . . . . . . . 8
51 elreal2 8770 . . . . . . . . . . . . 13
5251simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12
5352breq2d 4051 . . . . . . . . . . 11
54 ltresr 8778 . . . . . . . . . . 11
5553, 54syl6bb 252 . . . . . . . . . 10
5612, 55syl 15 . . . . . . . . 9
5756notbid 285 . . . . . . . 8
5850, 57sylibrd 225 . . . . . . 7
5958ralrimdva 2646 . . . . . 6
6059ad2antrr 706 . . . . 5
6152breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ltresr 8778 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13
6451simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6865, 67imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . . 15
7064, 69syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14
7170com3l 75 . . . . . . . . . . . . 13
7263, 71sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12
7372adantr 451 . . . . . . . . . . 11
74 fvelimab 5594 . . . . . . . . . . . . . . . 16
757, 8, 74mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77 ltresr2 8779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7876, 77sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8078, 79sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8180exbiri 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382com4r 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584reximdvai 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15
8675, 85syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . 14
8786expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13
8887com23 72 . . . . . . . . . . . 12
8988rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . 11
9073, 89syl6d 64 . . . . . . . . . 10
9190com23 72 . . . . . . . . 9
9291ex 423 . . . . . . . 8
9392com3l 75 . . . . . . 7
9493ad2antrr 706 . . . . . 6
9594ralrimdv 2645 . . . . 5
96 opelreal 8768 . . . . . . . 8
9796biimpri 197 . . . . . . 7
9897adantl 452 . . . . . 6
99 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11
10099notbid 285 . . . . . . . . . 10
101100ralbidv 2576 . . . . . . . . 9
102 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11
103102imbi1d 308 . . . . . . . . . 10
104103ralbidv 2576 . . . . . . . . 9
105101, 104anbi12d 691 . . . . . . . 8
106105rspcev 2897 . . . . . . 7
107106ex 423 . . . . . 6
10898, 107syl 15 . . . . 5
10960, 95, 108syl2and 469 . . . 4
110109rexlimdva 2680 . . 3
11134, 45, 1103syld 51 . 2
1121113impia 1148 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  c0 3468  cop 3656   class class class wbr 4039  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271  c1st 6136  cnr 8505  c0r 8506   cltr 8511  cr 8752   cltrr 8757 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-1p 8622  df-plp 8623  df-mp 8624  df-ltp 8625  df-plpr 8695  df-mpr 8696  df-enr 8697  df-nr 8698  df-plr 8699  df-mr 8700  df-ltr 8701  df-0r 8702  df-1r 8703  df-m1r 8704  df-r 8763  df-lt 8766
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