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Theorem axregnd 8242
Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axregnd  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )

Proof of Theorem axregnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axregndlem2 8241 . . . 4  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
) ) )
2 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
3 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
42, 3nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
5 nfnae 1909 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
6 nfnae 1909 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  y
75, 6nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
8 nfcvd 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/_ z w )
9 nfcvf 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ z x )
109adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/_ z x )
118, 10nfeld 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  w  e.  x )
12 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ z y )
1312adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/_ z y )
148, 13nfeld 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  w  e.  y )
1514nfnd 1772 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  -.  w  e.  y
)
1611, 15nfimd 1773 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )
17 elequ1 1699 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
18 elequ1 1699 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  y  <->  z  e.  y ) )
1918notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  w  e.  y  <->  -.  z  e.  y ) )
2017, 19imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2120a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
)  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
227, 16, 21cbvald 1961 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2322anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
244, 23exbid 1765 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. w
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
251, 24syl5ib 210 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
2625ex 423 . 2  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) )
27 axregndlem1 8240 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
2827aecoms 1900 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
29 19.8a 1730 . . 3  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
30 nfae 1907 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
31 elirrv 7327 . . . . . . . . . 10  |-  -.  z  e.  z
32 elequ2 1701 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  z  e.  y ) )
3331, 32mtbii 293 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  -.  z  e.  y )
3433sps 1751 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  y  ->  -.  z  e.  y )
3534a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )
3635a5i 1770 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
3736anim2i 552 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3837expcom 424 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3930, 38eximd 1762 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
4029, 39syl5 28 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
4126, 28, 40pm2.61ii 157 1  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419
This theorem is referenced by:  zfcndreg  8255  axregprim  24066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660
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