MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axregndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem axregndlem1 8469
Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axregndlem1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )

Proof of Theorem axregndlem1
StepHypRef Expression
1 19.8a 1762 . 2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
2 nfae 2042 . . 3  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 nfae 2042 . . . . . 6  |-  F/ z A. x  x  =  z
4 elirrv 7557 . . . . . . . . 9  |-  -.  x  e.  x
5 elequ1 1728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  x  <->  z  e.  x ) )
64, 5mtbii 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  -.  z  e.  x )
76sps 1770 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  z  e.  x
)
87pm2.21d 100 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )
93, 8alrimi 1781 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
109anim2i 553 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. x  x  =  z )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
1110expcom 425 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
122, 11eximd 1786 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
131, 12syl5 30 1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550
This theorem is referenced by:  axregndlem2  8470  axregnd  8471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-reg 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-nul 3621  df-sn 3812  df-pr 3813
  Copyright terms: Public domain W3C validator