MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axregndlem1 Unicode version

Theorem axregndlem1 8224
Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axregndlem1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )

Proof of Theorem axregndlem1
StepHypRef Expression
1 19.8a 1718 . 2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
2 nfa1 1756 . . 3  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 nfae 1894 . . . . . 6  |-  F/ z A. x  x  =  z
4 elirrv 7311 . . . . . . . . 9  |-  -.  x  e.  x
5 elequ1 1687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  x  <->  z  e.  x ) )
64, 5mtbii 293 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  -.  z  e.  x )
76sps 1739 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  z  e.  x
)
87pm2.21d 98 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )
93, 8alrimi 1745 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
109anim2i 552 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. x  x  =  z )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
1110expcom 424 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
122, 11eximd 1750 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
131, 12syl5 28 1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684
This theorem is referenced by:  axregndlem2  8225  axregnd  8226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647
  Copyright terms: Public domain W3C validator