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Theorem axregndlem2 8478
Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axregndlem2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axregndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axreg2 7561 . . . . . 6  |-  ( w  e.  y  ->  E. w
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )
21ax-gen 1555 . . . . 5  |-  A. w
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3 nfnae 2044 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
4 nfnae 2044 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
53, 4nfan 1846 . . . . . 6  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
6 nfcvd 2573 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
7 nfcvf 2594 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
96, 8nfeld 2587 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
10 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
11 nfnae 2044 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
12 nfnae 2044 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
1311, 12nfan 1846 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
14 nfcvf 2594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
1514adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
1615, 6nfeld 2587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  w )
1715, 8nfeld 2587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  y )
1817nfnd 1809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  -.  z  e.  y
)
1916, 18nfimd 1827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )
2013, 19nfald 1871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )
219, 20nfand 1843 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )
2210, 21nfexd 1873 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )
239, 22nfimd 1827 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
24 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  w  =  x )
2524eleq1d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
26 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z w )
27 nfcvf2 2595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z x )
2926, 28nfeqd 2586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ z  w  =  x )
3013, 29nfan1 1845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
3124eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  x ) )
3231imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y )  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3330, 32albid 1788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y )  <->  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3425, 33anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3534ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
365, 21, 35cbvexd 1988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3736adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3825, 37imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )  <-> 
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
3938ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) ) )
405, 23, 39cbvald 1986 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  y  ->  E. w
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )  <->  A. x
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
412, 40mpbii 203 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  A. x
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
424119.21bi 1774 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
4342ex 424 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) )
44 elirrv 7565 . . . . 5  |-  -.  x  e.  x
45 elequ2 1730 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  x  e.  y ) )
4644, 45mtbii 294 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
4746sps 1770 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
4847pm2.21d 100 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
49 axregndlem1 8477 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
5043, 48, 49pm2.61ii 159 1  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550   F/_wnfc 2559
This theorem is referenced by:  axregnd  8479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-reg 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-nul 3629  df-sn 3820  df-pr 3821
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