Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axregprim Unicode version

Theorem axregprim 24066
Description: ax-reg 7322 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axregprim  |-  ( x  e.  y  ->  -.  A. x ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )

Proof of Theorem axregprim
StepHypRef Expression
1 axregnd 8242 . 2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
2 df-an 360 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  (
x  e.  y  ->  -.  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
) )
32exbii 1572 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x  -.  ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
4 exnal 1564 . . 3  |-  ( E. x  -.  ( x  e.  y  ->  -.  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  A. x
( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
53, 4bitri 240 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  A. x
( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
61, 5sylib 188 1  |-  ( x  e.  y  ->  -.  A. x ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660
  Copyright terms: Public domain W3C validator