Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axregprim Unicode version

Theorem axregprim 24051
Description: ax-reg 7306 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axregprim  |-  ( x  e.  y  ->  -.  A. x ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )

Proof of Theorem axregprim
StepHypRef Expression
1 axregnd 8226 . 2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
2 df-an 360 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  (
x  e.  y  ->  -.  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
) )
32exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x  -.  ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
4 exnal 1561 . . 3  |-  ( E. x  -.  ( x  e.  y  ->  -.  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  A. x
( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
53, 4bitri 240 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  A. x
( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
61, 5sylib 188 1  |-  ( x  e.  y  ->  -.  A. x ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647
  Copyright terms: Public domain W3C validator