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Theorem axrep4 4151
Description: A more traditional version of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
axrep4.1  |-  F/ z
ph
Assertion
Ref Expression
axrep4  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep4
StepHypRef Expression
1 axrep3 4150 . . 3  |-  E. x
( E. z A. y ( ph  ->  y  =  z )  ->  A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) ) )
2119.35i 1591 . 2  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) ) )
3 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ z  y  e.  x
4 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ z  x  e.  w
5 nfa1 1768 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z ph
64, 5nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ z ( x  e.  w  /\  A. z ph )
76nfex 1779 . . . . 5  |-  F/ z E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )
83, 7nfbi 1784 . . . 4  |-  F/ z ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )
98nfal 1778 . . 3  |-  F/ z A. y ( y  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. z ph )
)
10 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ x  y  e.  z
11 nfe1 1718 . . . . 5  |-  F/ x E. x ( x  e.  w  /\  ph )
1210, 11nfbi 1784 . . . 4  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
)
1312nfal 1778 . . 3  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
14 elequ2 1701 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
15 axrep4.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
ph
161519.3 1793 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ph  <->  ph )
1716anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  ( x  e.  w  /\  ph )
)
1817exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
1918a1i 10 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
2014, 19bibi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )  <->  ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
2120albidv 1615 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) ) )
229, 13, 21cbvex 1938 . 2  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. z ph )
)  <->  E. z A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
232, 22sylib 188 1  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696
This theorem is referenced by:  axrep5  4152  funimaexg  5345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-cleq 2289  df-clel 2292
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