MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrep5 Unicode version

Theorem axrep5 4152
Description: Axiom of Replacement (similar to Axiom Rep of [BellMachover] p. 463). The antecedent tells us 
ph is analogous to a "function" from  x to  y (although it is not really a function since it is a wff and not a class). In the consequent we postulate the existence of a set  z that corresponds to the "image" of  ph restricted to some other set  w. The hypothesis says  z must not be free in  ph. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
axrep5.1  |-  F/ z
ph
Assertion
Ref Expression
axrep5  |-  ( A. x ( x  e.  w  ->  E. z A. y ( ph  ->  y  =  z ) )  ->  E. z A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
Distinct variable group:    x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep5
StepHypRef Expression
1 19.37v 1852 . . . . 5  |-  ( E. z ( x  e.  w  ->  A. y
( ph  ->  y  =  z ) )  <->  ( x  e.  w  ->  E. z A. y ( ph  ->  y  =  z ) ) )
2 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  w  /\  ph )  ->  y  =  z )  <->  ( x  e.  w  ->  ( ph  ->  y  =  z ) ) )
32albii 1556 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x  e.  w  /\  ph )  ->  y  =  z )  <->  A. y ( x  e.  w  ->  ( ph  ->  y  =  z ) ) )
4 19.21v 1843 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( x  e.  w  ->  ( ph  ->  y  =  z ) )  <->  ( x  e.  w  ->  A. y
( ph  ->  y  =  z ) ) )
53, 4bitr2i 241 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  w  ->  A. y ( ph  ->  y  =  z ) )  <->  A. y ( ( x  e.  w  /\  ph )  ->  y  =  z ) )
65exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. z ( x  e.  w  ->  A. y
( ph  ->  y  =  z ) )  <->  E. z A. y ( ( x  e.  w  /\  ph )  ->  y  =  z ) )
71, 6bitr3i 242 . . . 4  |-  ( ( x  e.  w  ->  E. z A. y (
ph  ->  y  =  z ) )  <->  E. z A. y ( ( x  e.  w  /\  ph )  ->  y  =  z ) )
87albii 1556 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  w  ->  E. z A. y ( ph  ->  y  =  z ) )  <->  A. x E. z A. y ( ( x  e.  w  /\  ph )  ->  y  =  z ) )
9 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ z  x  e.  w
10 axrep5.1 . . . . 5  |-  F/ z
ph
119, 10nfan 1783 . . . 4  |-  F/ z ( x  e.  w  /\  ph )
1211axrep4 4151 . . 3  |-  ( A. x E. z A. y
( ( x  e.  w  /\  ph )  ->  y  =  z )  ->  E. z A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
138, 12sylbi 187 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  w  ->  E. z A. y ( ph  ->  y  =  z ) )  ->  E. z A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
14 anabs5 784 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  w  /\  ( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  w  /\  ph )
)
1514exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  w  /\  ( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) )
1615bibi2i 304 . . . 4  |-  ( ( y  e.  z  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ( x  e.  w  /\  ph ) ) )  <-> 
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
1716albii 1556 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  (
x  e.  w  /\  ph ) ) )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
1817exbii 1572 . 2  |-  ( E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ( x  e.  w  /\  ph ) ) )  <->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) ) )
1913, 18sylib 188 1  |-  ( A. x ( x  e.  w  ->  E. z A. y ( ph  ->  y  =  z ) )  ->  E. z A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696
This theorem is referenced by:  zfrepclf  4153  axsep  4156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-cleq 2289  df-clel 2292
  Copyright terms: Public domain W3C validator