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Theorem axrepnd 8232
Description: A version of the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axrepnd  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )

Proof of Theorem axrepnd
StepHypRef Expression
1 axrepndlem2 8231 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
2 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
42, 3nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
5 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
64, 5nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ x
( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )
7 nfnae 1909 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
8 nfnae 1909 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
97, 8nfan 1783 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
10 nfnae 1909 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
119, 10nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )
12 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1312adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y z )
14 nfcvf2 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y x )
1613, 15nfeld 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y 
z  e.  x )
1716nfrd 1755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( z  e.  x  ->  A. y 
z  e.  x ) )
18 sp 1728 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  z  e.  x  ->  z  e.  x )
1917, 18impbid1 194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( z  e.  x  <->  A. y  z  e.  x ) )
20 nfcvf2 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
2120ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z x )
22 nfcvf2 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z y )
2421, 23nfeld 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  x  e.  y )
2524nfrd 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  e.  y  ->  A. z  x  e.  y )
)
26 sp 1728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  x  e.  y  ->  x  e.  y )
2725, 26impbid1 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  e.  y  <->  A. z  x  e.  y ) )
2827anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
) )
296, 28exbid 1765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
) )
3019, 29bibi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( (
z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3111, 30albid 1764 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3231imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
336, 32exbid 1765 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
341, 33mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3534exp31 587 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) ) )
36 nfae 1907 . . . . 5  |-  F/ z A. x  x  =  y
37 nd2 8226 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  -.  A. y  z  e.  x )
3837aecoms 1900 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. y  z  e.  x )
39 nfa1 1768 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  y
40 nd3 8227 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )
4140intnanrd 883 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
4239, 41nexd 1763 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
4338, 422falsed 340 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
4436, 43alrimi 1757 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
4544a1d 22 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
46 19.8a 1730 . . 3  |-  ( ( E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
4745, 46syl 15 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
48 nfae 1907 . . . . 5  |-  F/ z A. x  x  =  z
49 nd4 8228 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. y  z  e.  x )
50 nfa1 1768 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
51 nd1 8225 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  x  ->  -.  A. z  x  e.  y )
5251aecoms 1900 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. z  x  e.  y )
5352intnanrd 883 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
5450, 53nexd 1763 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
5549, 542falsed 340 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5648, 55alrimi 1757 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5756a1d 22 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
5857, 46syl 15 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
59 nfae 1907 . . . . 5  |-  F/ z A. y  y  =  z
60 nd1 8225 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. y  z  e.  x )
61 nfae 1907 . . . . . . 7  |-  F/ x A. y  y  =  z
62 nd2 8226 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )
6362aecoms 1900 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. z  x  e.  y )
6463intnanrd 883 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
6561, 64nexd 1763 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
6660, 652falsed 340 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
6759, 66alrimi 1757 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
6867a1d 22 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
6968, 46syl 15 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
7035, 47, 58, 69pm2.61iii 159 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419
This theorem is referenced by:  zfcndrep  8252  axrepprim  24063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660
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