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Theorem axrepndlem1 8230
Description: Lemma for the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axrepndlem1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem axrepndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axrep2 4149 . 2  |-  E. x
( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )
2 nfnae 1909 . . 3  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
3 nfnae 1909 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
4 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
5 nfs1v 2058 . . . . . . . 8  |-  F/ z [ w  /  z ] ph
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z [ w  /  z ] ph )
7 nfcvd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z w )
8 nfcvf2 2455 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
97, 8nfeqd 2446 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  =  y )
106, 9nfimd 1773 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y ) )
11 sbequ12r 1873 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  z ] ph  <->  ph ) )
12 equequ1 1667 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  y  <->  z  =  y ) )
1311, 12imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) )
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) ) )
154, 10, 14cbvald 1961 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  A. z ( ph  ->  z  =  y ) ) )
163, 15exbid 1765 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. w ( [ w  /  z ]
ph  ->  w  =  y )  <->  E. y A. z
( ph  ->  z  =  y ) ) )
17 nfvd 1610 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  e.  x )
188nfcrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  x  e.  y )
193, 6nfald 1787 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z A. y [ w  / 
z ] ph )
2018, 19nfand 1775 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )
212, 20nfexd 1788 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )
2217, 21nfbid 1774 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )
23 elequ1 1699 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
25 nfcvd 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y w )
26 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
2725, 26nfeqd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  w  =  z )
283, 27nfan1 1834 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  z  /\  w  =  z )
2911adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( [ w  / 
z ] ph  <->  ph ) )
3028, 29albid 1764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( A. y [ w  /  z ]
ph 
<-> 
A. y ph )
)
3130anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph )  <->  ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3231exbidv 1616 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  / 
z ] ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3324, 32bibi12d 312 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3433ex 423 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
354, 22, 34cbvald 1961 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3616, 35imbi12d 311 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
372, 36exbid 1765 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. x ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
381, 37mpbii 202 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632   [wsb 1638    e. wcel 1696
This theorem is referenced by:  axrepndlem2  8231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421
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