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Theorem axrepndlem1 8467
Description: Lemma for the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axrepndlem1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem axrepndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axrep2 4322 . 2  |-  E. x
( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )
2 nfnae 2044 . . 3  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
3 nfnae 2044 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
4 nfnae 2044 . . . . . 6  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
5 nfs1v 2182 . . . . . . . 8  |-  F/ z [ w  /  z ] ph
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z [ w  /  z ] ph )
7 nfcvd 2573 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z w )
8 nfcvf2 2595 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
97, 8nfeqd 2586 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  =  y )
106, 9nfimd 1827 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y ) )
11 sbequ12r 1945 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  z ] ph  <->  ph ) )
12 equequ1 1696 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  y  <->  z  =  y ) )
1311, 12imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) )
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) ) )
154, 10, 14cbvald 1986 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  A. z ( ph  ->  z  =  y ) ) )
163, 15exbid 1789 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. w ( [ w  /  z ]
ph  ->  w  =  y )  <->  E. y A. z
( ph  ->  z  =  y ) ) )
17 nfvd 1630 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  e.  x )
188nfcrd 2585 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  x  e.  y )
193, 6nfald 1871 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z A. y [ w  / 
z ] ph )
2018, 19nfand 1843 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )
212, 20nfexd 1873 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )
2217, 21nfbid 1854 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )
23 elequ1 1728 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
2423adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
25 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y w )
26 nfcvf 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
2725, 26nfeqd 2586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  w  =  z )
283, 27nfan1 1845 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  z  /\  w  =  z )
2911adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( [ w  / 
z ] ph  <->  ph ) )
3028, 29albid 1788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( A. y [ w  /  z ]
ph 
<-> 
A. y ph )
)
3130anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph )  <->  ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3231exbidv 1636 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  / 
z ] ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3324, 32bibi12d 313 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3433ex 424 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
354, 22, 34cbvald 1986 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3616, 35imbi12d 312 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
372, 36exbid 1789 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. x ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
381, 37mpbii 203 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550   F/wnf 1553   [wsb 1658
This theorem is referenced by:  axrepndlem2  8468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561
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