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Theorem axrepndlem1 8214
Description: Lemma for the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axrepndlem1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem axrepndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axrep2 4133 . 2  |-  E. x
( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )
2 nfnae 1896 . . 3  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
3 nfnae 1896 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
4 nfnae 1896 . . . . . 6  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
5 nfs1v 2045 . . . . . . . 8  |-  F/ z [ w  /  z ] ph
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z [ w  /  z ] ph )
7 nfcvd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z w )
8 nfcvf2 2442 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
97, 8nfeqd 2433 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  =  y )
106, 9nfimd 1761 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y ) )
11 sbequ12r 1861 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  z ] ph  <->  ph ) )
12 equequ1 1648 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  y  <->  z  =  y ) )
1311, 12imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) )
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) ) )
154, 10, 14cbvald 1948 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  A. z ( ph  ->  z  =  y ) ) )
163, 15exbid 1753 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. w ( [ w  /  z ]
ph  ->  w  =  y )  <->  E. y A. z
( ph  ->  z  =  y ) ) )
17 nfvd 1606 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  e.  x )
188nfcrd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  x  e.  y )
193, 6nfald 1775 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z A. y [ w  / 
z ] ph )
2018, 19nfand 1763 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )
212, 20nfexd 1776 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )
2217, 21nfbid 1762 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )
23 elequ1 1687 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
25 nfcvd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y w )
26 nfcvf 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
2725, 26nfeqd 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  w  =  z )
283, 27nfan1 1822 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  z  /\  w  =  z )
2911adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( [ w  / 
z ] ph  <->  ph ) )
3028, 29albid 1752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( A. y [ w  /  z ]
ph 
<-> 
A. y ph )
)
3130anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph )  <->  ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3231exbidv 1612 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  / 
z ] ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3324, 32bibi12d 312 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3433ex 423 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
354, 22, 34cbvald 1948 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3616, 35imbi12d 311 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
372, 36exbid 1753 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. x ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
381, 37mpbii 202 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684
This theorem is referenced by:  axrepndlem2  8215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408
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